Una bola dieléctrica pequeña de 8 gramos de masa, se desliza libremente en una cuerda vertical no conductora, debajo de una bola dieléctrica pequena fija con una carga de 8 n . Si la bola, que se mueve con libertad, tiene una carga de \( -3 \pi \mathrm{C} \), ¿a qué distancia 'flotará' debajo de la bola fija?

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones conocidas: 1. Masa de la bola móvil, \( m = 8 \, \text{g} = 0.008 \, \text{kg} \). 2. Carga de la bola fija, \( Q = 8 \, \text{nC} = 8 \times 10^{-9} \, \text{C} \). 3. Carga de la bola móvil, \( q = -3\pi \, \text{C} \). La bola móvil flotará a una distancia \( d \) debajo de la bola fija cuando la fuerza eléctrica que actúa sobre ella sea igual a su peso. La fuerza eléctrica \( F_e \) entre dos cargas se calcula con la ley de Coulomb: \[ F_e = k \frac{|Q \cdot q|}{d^2} \] donde \( k \) es la constante de Coulomb, \( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2 \). El peso \( F_g \) de la bola móvil se calcula como: \[ F_g = m \cdot g \] donde \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \). Igualamos las dos fuerzas para encontrar la distancia \( d \): \[ k \frac{|Q \cdot q|}{d^2} = m \cdot g \] Sustituyendo los valores: 1. Calculemos el peso \( F_g \): \[ F_g = 0.008 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \] 2. Calculemos la fuerza eléctrica \( F_e \): \[ F_e = k \frac{|Q \cdot q|}{d^2} \] Ahora, igualamos y despejamos \( d \): \[ d^2 = k \frac{|Q \cdot q|}{m \cdot g} \] \[ d = \sqrt{k \frac{|Q \cdot q|}{m \cdot g}} \] Ahora procederé a calcular \( F_g \) y luego \( d \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(0.008\times 9.81\) - step1: Multiply the numbers: \(0.07848\) Calculate or simplify the expression \( 8.99e9 * (8e-9 * 3.14) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(8.99e\times 9\left(8e-9\times 3.14\right)\) - step1: Multiply the numbers: \(8.99e\times 9\left(8e-28.26\right)\) - step2: Multiply the terms: \(80.91e\left(8e-28.26\right)\) - step3: Multiply the terms: \(\left(647.28e-2286.5166\right)e\) - step4: Apply the distributive property: \(647.28e\times e-2286.5166e\) - step5: Multiply the terms: \(647.28e^{2}-2286.5166e\) - step6: Simplify: \(4782.788232-2286.5166e\) - step7: Simplify: \(4782.788232-6215.396524\) - step8: Calculate: \(-1432.608293\) Calculate or simplify the expression \( 8.99e9 * (8e-9 * 3.14) / (0.07848) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{8.99e\times 9\left(8e-9\times 3.14\right)}{0.07848}\) - step1: Multiply the numbers: \(\frac{8.99e\times 9\left(8e-28.26\right)}{0.07848}\) - step2: Multiply the terms: \(\frac{647.28e^{2}-2286.5166e}{0.07848}\) - step3: Convert the expressions: \(\frac{647.28e^{2}-2286.5166e}{\frac{981}{12500}}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(\left(647.28e^{2}-2286.5166e\right)\times \frac{12500}{981}\) - step5: Multiply: \(\frac{\left(647.28e^{2}-2286.5166e\right)\times 12500}{981}\) - step6: Multiply: \(\frac{-1.79076\times 10^{7}}{981}\) - step7: Simplify: \(-\frac{1.79076\times 10^{7}}{981}\) - step8: Rewrite the expression: \(-18254.437978\) Calculate or simplify the expression \( \sqrt(18254.437978) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sqrt{18254.437978}\) - step1: Rewrite the expression: \(\sqrt{\frac{9127218989}{500000}}\) - step2: Use the properties of radicals: \(\frac{\sqrt{9127218989}}{\sqrt{500000}}\) - step3: Simplify the expression: \(\frac{\sqrt{9127218989}}{500\sqrt{2}}\) - step4: Multiply by the Conjugate: \(\frac{\sqrt{9127218989}\times \sqrt{2}}{500\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\) - step5: Multiply the numbers: \(\frac{\sqrt{18254437978}}{500\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\) - step6: Multiply the numbers: \(\frac{\sqrt{18254437978}}{1000}\) Ahora que hemos realizado los cálculos, podemos resumir los resultados: 1. El peso de la bola móvil \( F_g \) es aproximadamente \( 0.07848 \, \text{N} \). 2. La fuerza eléctrica \( F_e \) entre las dos cargas es aproximadamente \( -1432.61 \, \text{N} \) (el signo negativo indica que las fuerzas son atractivas debido a las cargas opuestas). 3. Al igualar las fuerzas y despejar \( d \), encontramos que: \[ d \approx 135.11 \, \text{m} \] Por lo tanto, la bola móvil "flotará" a una distancia de aproximadamente **135.11 metros** debajo de la bola fija.