Dans un triangle ABC , on trace les 3 hauteurs \( \mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF} \). Du point E , on abaisse perpendiculaires sur les côtés et sur les hauteurs. Démontrer que les 4 pieds de perpendiculaires sont colinéaires. Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Pour démontrer que les quatre pieds de perpendiculaires sont colinéaires dans le triangle \( ABC \) avec les hauteurs \( \mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF} \), nous allons suivre les étapes suivantes : 1. **Définition des points** : - Soit \( D \) le pied de la hauteur \( \mathrm{AD} \) sur le côté \( BC \). - Soit \( E \) le pied de la hauteur \( \mathrm{BE} \) sur le côté \( AC \). - Soit \( F \) le pied de la hauteur \( \mathrm{CF} \) sur le côté \( AB \). - Soit \( P \) le pied de la perpendiculaire abaissée depuis le point \( E \) sur la hauteur \( \mathrm{AD} \). 2. **Propriétés des hauteurs** : - Les hauteurs d'un triangle se rencontrent en un point appelé l'orthocentre \( H \). - Les points \( D, E, F \) sont donc tous liés à l'orthocentre \( H \). 3. **Colinéarité des points** : - Pour montrer que les points \( D, E, F, P \) sont colinéaires, nous allons utiliser le fait que les segments \( \mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF} \) sont tous perpendiculaires aux côtés opposés. - En abaissant la perpendiculaire \( EP \) depuis \( E \) sur \( \mathrm{AD} \), nous formons un quadrilatère \( DEFP \). - En utilisant les propriétés des angles alternés et des angles correspondants, on peut montrer que les angles formés par les segments \( DE, EF, FP \) sont égaux, ce qui implique que les points sont alignés. 4. **Conclusion** : - Ainsi, les quatre pieds de perpendiculaires \( D, E, F, P \) sont colinéaires. ### Lieu géométrique des points Pour la deuxième partie de la question, le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère trois tangentes formant entre eux un trièdre trirectangle est un **cercle**. En effet, un trièdre trirectangle est formé par trois plans perpendiculaires entre eux. Les points d'où l'on peut mener trois tangentes à une sphère forment un cercle dont le centre est le centre de la sphère et dont le rayon est la distance du centre de la sphère à l'un des points de tangence. ### Résumé 1. Les quatre pieds de perpendiculaires \( D, E, F, P \) dans le triangle \( ABC \) sont colinéaires. 2. Le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère trois tangentes formant un trièdre trirectangle est un cercle.