Un solide a pour base la courbe décrite par la fonction \( y = x^2 \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \). Si chaque section transversale perpendicular aux axes \( x \) est un rectangle où la largeur est double de la hauteur, trouvez son volume.

Pour trouver le volume du solide, nous devons d'abord exprimer la hauteur du rectangle en fonction de \( x \). La fonction de base \( y = x^2 \) donne la hauteur de chaque section transversale rectangle. Si la largeur est double de la hauteur, nous pouvons poser la hauteur comme \( h = y = x^2 \) et la largeur comme \( w = 2h = 2x^2 \). Pour déterminer le volume, nous intégrons l'aire de chaque section transversale sur l'intervalle de \( x = 0 \) à \( x = 2 \). L'aire \( A \) d'un rectangle est donnée par : \[ A = \text{largeur} \times \text{hauteur} = w \cdot h = (2x^2)(x^2) = 2x^4. \] Ensuite, le volume \( V \) est calculé par l'intégrale de l'aire de la section transversale : \[ V = \int_{0}^{2} A \, dx = \int_{0}^{2} 2x^4 \, dx. \] Calculons cette intégrale : \[ V = 2 \int_{0}^{2} x^4 \, dx. \] Pour évaluer l'intégrale, nous utilisons la formule de l'intégrale de \( x^n \): \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. \] Ici, \( n = 4 \), donc: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^{5}}{5}. \] Calculons maintenant : \[ V = 2 \left[ \frac{x^{5}}{5} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} \right) = 2 \left( \frac{32}{5} \right) = \frac{64}{5}. \] Ainsi, le volume du solide est : \[ \boxed{\frac{64}{5}}. \]