(1) Hallar Sen \( |5-4 x|=23 \) (2) Hallar Sen \( |5-4 x|<23 \) (3) Hallar Sen \( |5-4 x| \geqslant 23 \)

Procederemos a resolver cada uno de los incisos: ────────────────────────── (1) Hallar x en |5 – 4x| = 23 Recordemos que, para |A| = B (con B ≥ 0), se tiene que:   A = B o A = –B Aplicamos esto: • Caso 1: 5 – 4x = 23   Restamos 5 a ambos lados:     –4x = 23 – 5 = 18   Dividimos por –4 (recordando que al dividir entre un número negativo la desigualdad en el caso de inequaciones se invierte, pero aquí es una ecuación):     x = –18/4 = –9/2 • Caso 2: 5 – 4x = –23   Restamos 5 a ambos lados:     –4x = –23 – 5 = –28   Dividimos por –4:     x = (–28)/(–4) = 7 Solución del inciso (1):   x = –9/2 ó x = 7 ────────────────────────── (2) Hallar x en |5 – 4x| < 23 Para la desigualdad de valor absoluto |A| < B (con B > 0) se utiliza la propiedad:   –B < A < B Aplicamos esta propiedad a A = 5 – 4x y B = 23:   –23 < 5 – 4x < 23 Ahora resolvemos la doble desigualdad: Paso 1: Restamos 5 en cada parte:   –23 – 5 < –4x < 23 – 5   –28 < –4x < 18 Paso 2: Dividimos por –4 (al dividir entre un número negativo se invierten los símbolos de desigualdad):   Dividiendo –28 < –4x se tiene:     (–28)/(-4) > x  ⟹ 7 > x   Dividiendo –4x < 18 se tiene:     x > (18)/(-4) ⟹ x > –9/2 Por lo tanto, la solución es:   –9/2 < x < 7 ────────────────────────── (3) Hallar x en |5 – 4x| ≥ 23 Para la desigualdad de valor absoluto |A| ≥ B se separa en dos casos (B ≥ 0):   A ≥ B ó A ≤ –B Aplicamos a A = 5 – 4x y B = 23: • Caso 1: 5 – 4x ≥ 23   Restamos 5:     –4x ≥ 23 – 5 ⟹ –4x ≥ 18   Dividimos por –4 (cambiando el sentido de la desigualdad):     x ≤ –18/4 = –9/2 • Caso 2: 5 – 4x ≤ –23   Restamos 5:     –4x ≤ –23 – 5 ⟹ –4x ≤ –28   Dividimos por –4 (invirtiendo el sentido):     x ≥ (–28)/(–4) = 7 La solución se expresa en forma de unión:   x ≤ –9/2 ó x ≥ 7 ────────────────────────── Resumen Final: (1) |5 – 4x| = 23 ⟹ x = –9/2 ó x = 7 (2) |5 – 4x| < 23 ⟹ –9/2 < x < 7 (3) |5 – 4x| ≥ 23 ⟹ x ≤ –9/2 ó x ≥ 7