1. (1.0) Use el principio inclusión-exclusión para determinar la cantidad de numeros enteros positivos entre 1 y 2000 que NO son divisibles por: \( 2,3,567 \). Funciones

Para resolver el problema, utilizaremos el principio de inclusión-exclusión. Queremos contar la cantidad de números enteros positivos entre 1 y 2000 que no son divisibles por \( 2 \), \( 3 \) y \( 567 \). Primero, definimos los conjuntos: - \( A \): conjunto de números entre 1 y 2000 divisibles por \( 2 \). - \( B \): conjunto de números entre 1 y 2000 divisibles por \( 3 \). - \( C \): conjunto de números entre 1 y 2000 divisibles por \( 567 \). Queremos encontrar el número de elementos en el complemento de la unión de estos conjuntos, es decir, \( |A \cup B \cup C|^c \). Usando el principio de inclusión-exclusión, tenemos: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Ahora, calculamos cada uno de estos términos. 1. **Cálculo de \( |A| \)**: Los números divisibles por \( 2 \) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 2, 4, 6, \ldots, 2000 \). La cantidad de estos números es: \[ |A| = \frac{2000}{2} = 1000 \] 2. **Cálculo de \( |B| \)**: Los números divisibles por \( 3 \) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 3, 6, 9, \ldots, 1998 \). La cantidad de estos números es: \[ |B| = \frac{2000}{3} = 666 \quad (\text{redondeando hacia abajo}) \] 3. **Cálculo de \( |C| \)**: Los números divisibles por \( 567 \) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 567, 1134, 1701 \). La cantidad de estos números es: \[ |C| = \frac{2000}{567} = 3 \quad (\text{redondeando hacia abajo}) \] 4. **Cálculo de \( |A \cap B| \)**: Los números divisibles por \( 6 \) (mínimo común múltiplo de \( 2 \) y \( 3 \)) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 6, 12, 18, \ldots, 1998 \). La cantidad de estos números es: \[ |A \cap B| = \frac{2000}{6} = 333 \quad (\text{redondeando hacia abajo}) \] 5. **Cálculo de \( |A \cap C| \)**: Los números divisibles por \( 1134 \) (mínimo común múltiplo de \( 2 \) y \( 567 \)) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 1134 \). La cantidad de estos números es: \[ |A \cap C| = \frac{2000}{1134} = 1 \quad (\text{redondeando hacia abajo}) \] 6. **Cálculo de \( |B \cap C| \)**: Los números divisibles por \( 1701 \) (mínimo común múltiplo de \( 3 \) y \( 567 \)) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 1701 \). La cantidad de estos números es: \[ |B \cap C| = \frac{2000}{1701} = 1 \quad (\text{redondeando hacia abajo}) \] 7. **Cálculo de \( |A \cap B \cap C| \)**: Los números divisibles por \( 1701 \) (mínimo común múltiplo de \( 2, 3 \) y \( 567 \)) entre \( 1 \) y \( 2000 \) son \( 1701 \). La cantidad de estos números es: \[ |A \cap B \cap C| = \frac{2000}{1701} = 1 \quad (\text{redondeando hacia abajo}) \] Ahora, sustituimos todos estos valores en la fórmula de inclusión-exclusión: \[ |A \cup B \cup C| = 1000 + 666 + 3 - 333 - 1 - 1 + 1 \] Calculamos: \[ |A \cup B \cup C| = 1000 + 666 + 3 - 333 - 1 - 1 + 1 = 1335 \] Finalmente, la cantidad de números enteros positivos entre \( 1 \) y \( 2000 \) que **no** son divisibles por \( 2, 3 \) o \( 567 \) es: \[ 2000 - |A \cup B \cup C| = 2000 - 1335 = 665 \] Por lo tanto, la cantidad de números enteros positivos entre \( 1 \) y \( 2000 \) que no son divisibles por \( 2, 3 \) o \( 567 \) es \( \boxed{665} \).