a) Vean si es posible determinar el comportamiento de las siguientes series aplicando la condición necesaria de convergencia. $$ \begin{array}{lll} ext { i) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}-n+3}{n^{2}+1} & ext { ii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} & ext { iii) } \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{10}{n}-\frac{1}{2^{n}} ight)\end{array} $$

Question

a) Vean si es posible determinar el comportamiento de las siguientes series aplicando la condición necesaria de convergencia. $$ \begin{array}{lll}	ext { i) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}-n+3}{n^{2}+1} & 	ext { ii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} & 	ext { iii) } \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{10}{n}-\frac{1}{2^{n}}ight)\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar el comportamiento de las series dadas, aplicaremos la condición necesaria de convergencia, que establece que si una serie infinita converge, entonces el término general de la serie debe tender a cero. Vamos a analizar cada serie por separado.

### i) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}-n+3}{n^{2}+1} $$

Primero, evaluamos el término general:

$$
a_n = \frac{2 n^{2}-n+3}{n^{2}+1}
$$

Para $$ n $$ grande, el comportamiento de $$ a_n $$ se puede aproximar considerando los términos de mayor grado en el numerador y el denominador:

$$
a_n \approx \frac{2n^2}{n^2} = 2
$$

Dado que $$ a_n $$ no tiende a cero (tiende a 2), la serie no puede converger. Por lo tanto, la serie diverge.

### ii) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} $$

El término general es:

$$
b_n = \frac{1}{4^{n}}
$$

Este término tiende a cero a medida que $$ n $$ tiende a infinito:

$$
\lim_{n \to \infty} b_n = 0
$$

Dado que el término general tiende a cero, la serie puede converger. De hecho, esta es una serie geométrica con razón $$ r = \frac{1}{4} < 1 $$, por lo que la serie converge.

### iii) $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{10}{n}-\frac{1}{2^{n}}\right) $$

El término general es:

$$
c_n = \frac{10}{n} - \frac{1}{2^{n}}
$$

Analizamos cada parte:

1. $$ \frac{10}{n} $$ tiende a cero cuando $$ n $$ tiende a infinito.
2. $$ \frac{1}{2^{n}} $$ también tiende a cero cuando $$ n $$ tiende a infinito.

Sin embargo, el término $$ \frac{10}{n} $$ es el que domina el comportamiento de $$ c_n $$ para $$ n $$ grande. Por lo tanto:

$$
\lim_{n \to \infty} c_n = 0
$$

Aunque el término general tiende a cero, la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{n} $$ es una serie armónica que diverge. Por lo tanto, la serie original también diverge.

### Resumen

- i) La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}-n+3}{n^{2}+1} $$ diverge.
- ii) La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} $$ converge.
- iii) La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{10}{n}-\frac{1}{2^{n}}\right) $$ diverge.
i) La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}-n+3}{n^{2}+1} $$ diverge. ii) La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} $$ converge. iii) La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{10}{n}-\frac{1}{2^{n}}\right) $$ diverge.

a) Vean si es posible determinar el comportamiento de las siguientes
series aplicando la condición necesaria de convergencia.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

i)

ii)

iii)

Resumen

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