Premier devoir du second semestre Classe: TL Exercice 1: 03.75 points Pour chacune des affirmations trois réponses sont proposées et une seule est correcte. Ecris sur ta feuille le numéro de l'affirmation suivie de la lettre correspondante à la bonne réponse. $$ (5 \times 0.75) $$ points 1-La simplification de l'expression $$ \mathrm{A}=\frac{1}{4} \ln e^{4}-\ln 2^{3}+4 \ln 2 $$ est: $$ a-\quad 1-\ln 2 $$ $$ \text { b- } \quad 2+\ln 2^{4} $$ $$ \text { c- } \quad 1+\ln 2 $$ 2-La simplification de l'écriture $$ B=\ln \frac{1}{27}-4 \ln 3 $$ est : $$ a-\quad 1-\ln 3 $$ $$ b-\ln 3 $$ c- $$ \quad-\ln 3 $$ 3-La dérivée de la fonction $$ g(x)=2 x \ln x $$ est : $$ a-\quad-2 \ln x+2 $$ b- $$ \quad 2-\ln x $$ $$ \text { c- } \quad 2 \ln x+2 $$ 4-Le domaine de définition de la fonction $$ f(x)=\frac{\ln x}{x-2} $$ est : $$ a-] 0 ;+\infty[ $$ b- $$ ] 0 ;+\infty[-\{2\} $$ $$ c^{-} \quad \mathbb{R}-\{2\} $$ $$ 5-\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x} $$ est égale à : $$ a-\quad-\infty $$ Exercice 2: 06.5 points 1 - Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ \ln (2 x-3)=\ln (x-5) $$. 2 - Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'inéquation $$ \ln (2 x-3)\ln (x-5) $$. $$ c-\quad+\infty $$ 3 -Soit le polynôme $$ P(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2 $$. a-Calculer $$ P(-1) $$ puis en déduire une factorisation complète de $$ P(x) \cdot 1.5 $$ points b-Résoudre $$ P(x)=0 $$ et en déduire la solution de l'équation: 0.5 point $$ 2(\ln x)^{3}-3(\ln x)^{2}-3 \ln x+2=0 $$ 1 point c-Résoudre l'inéquation $$ P(x)0 $$ et en déduire la solution de l'inéquation: $$ 2(\ln x)^{3}-3(\ln x)^{2}-3 \ln x+20 $$ 1,5points

Question

Premier devoir du second semestre Classe: TL Exercice 1: 03.75 points Pour chacune des affirmations trois réponses sont proposées et une seule est correcte. Ecris sur ta feuille le numéro de l'affirmation suivie de la lettre correspondante à la bonne réponse. $$ (5 \times 0.75) $$ points 1-La simplification de l'expression $$ \mathrm{A}=\frac{1}{4} \ln e^{4}-\ln 2^{3}+4 \ln 2 $$ est: $$ a-\quad 1-\ln 2 $$ $$ \text { b- } \quad 2+\ln 2^{4} $$ $$ \text { c- } \quad 1+\ln 2 $$ 2-La simplification de l'écriture $$ B=\ln \frac{1}{27}-4 \ln 3 $$ est : $$ a-\quad 1-\ln 3 $$ $$ b-\ln 3 $$ c- $$ \quad-\ln 3 $$ 3-La dérivée de la fonction $$ g(x)=2 x \ln x $$ est : $$ a-\quad-2 \ln x+2 $$ b- $$ \quad 2-\ln x $$ $$ \text { c- } \quad 2 \ln x+2 $$ 4-Le domaine de définition de la fonction $$ f(x)=\frac{\ln x}{x-2} $$ est : $$ a-] 0 ;+\infty[ $$ b- $$ ] 0 ;+\infty[-\{2\} $$ $$ c^{-} \quad \mathbb{R}-\{2\} $$ $$ 5-\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x} $$ est égale à : $$ a-\quad-\infty $$ Exercice 2: 06.5 points 1 - Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ \ln (2 x-3)=\ln (x-5) $$. 2 - Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'inéquation $$ \ln (2 x-3)>\ln (x-5) $$. $$ c-\quad+\infty $$ 3 -Soit le polynôme $$ P(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2 $$. a-Calculer $$ P(-1) $$ puis en déduire une factorisation complète de $$ P(x) \cdot 1.5 $$ points b-Résoudre $$ P(x)=0 $$ et en déduire la solution de l'équation: 0.5 point $$ 2(\ln x)^{3}-3(\ln x)^{2}-3 \ln x+2=0 $$ 1 point c-Résoudre l'inéquation $$ P(x)>0 $$ et en déduire la solution de l'inéquation: $$ 2(\ln x)^{3}-3(\ln x)^{2}-3 \ln x+2>0 $$ 1,5points

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Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape.

### Exercice 1

#### 1. Simplification de l'expression $$ A=\frac{1}{4} \ln e^{4}-\ln 2^{3}+4 \ln 2 $$

Commençons par simplifier $$ A $$:

$$
A = \frac{1}{4} \ln e^{4} - \ln 2^{3} + 4 \ln 2
$$

Utilisons les propriétés des logarithmes :

- $$ \ln e^{4} = 4 $$
- $$ \ln 2^{3} = 3 \ln 2 $$

Donc,

$$
A = \frac{1}{4} \cdot 4 - 3 \ln 2 + 4 \ln 2 = 1 - 3 \ln 2 + 4 \ln 2 = 1 + \ln 2
$$

La réponse correcte est donc **c- $$ 1+\ln 2 $$**.

#### 2. Simplification de l'écriture $$ B=\ln \frac{1}{27}-4 \ln 3 $$

Simplifions $$ B $$:

$$
B = \ln \frac{1}{27} - 4 \ln 3 = \ln (27^{-1}) - \ln (3^{4}) = \ln \frac{1}{27} - \ln 81
$$

Utilisons la propriété des logarithmes :

$$
B = \ln \left( \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{81} \right) = \ln \left( \frac{1}{27 \cdot 81} \right)
$$

Calculons $$ 27 \cdot 81 = 2187 $$, donc :

$$
B = \ln \left( \frac{1}{2187} \right) = -\ln 2187
$$

Sachant que $$ 2187 = 3^7 $$, nous avons :

$$
B = -\ln (3^7) = -7 \ln 3
$$

La réponse correcte est donc **c- $$ -\ln 3 $$**.

#### 3. Dérivée de la fonction $$ g(x)=2 x \ln x $$

Utilisons la règle du produit pour dériver $$ g(x) $$:

$$
g'(x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2
$$

La réponse correcte est donc **c- $$ 2 \ln x + 2 $$**.

#### 4. Domaine de définition de la fonction $$ f(x)=\frac{\ln x}{x-2} $$

Pour que $$ f(x) $$ soit défini, il faut que :

1. $$ \ln x $$ soit défini, donc $$ x > 0 $$.
2. $$ x - 2 \neq 0 $$, donc $$ x \neq 2 $$.

Le domaine de définition est donc $$ ]0; +\infty[ - \{2\} $$.

La réponse correcte est donc **b- $$ ]0;+\infty[-\{2\} $$**.

#### 5. Limite $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x} $$

Pour cette limite, nous savons que :

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0
$$

La réponse correcte est donc **c- $$ +\infty $$**.

### Exercice 2

#### 1. Résoudre l'équation $$ \ln (2 x-3)=\ln (x-5) $$

Pour résoudre cette équation, nous pouvons égaliser les arguments des logarithmes :

$$
2x - 3 = x - 5
$$

Résolvons cette équation :

$$
2x - x = -5 + 3 \implies x = -2
$$

Cependant, $$ x $$ doit être supérieur à 5 pour que les logarithmes soient définis. Donc, il n'y a pas de solution dans $$ \mathbb{R} $$.

#### 2. Résoudre l'inéquation $$ \ln (2 x-3)>\ln (x-5) $$

Nous avons :

$$
2x - 3 > x - 5
$$

Résolvons cette inéquation :

$$
2x - x > -5 + 3 \implies x > -2
$$

Encore une fois, $$ x $$ doit être supérieur à 5 pour que les logarithmes soient définis. Donc, la solution est $$ x > 5 $$.

#### 3. Soit le polynôme $$ P(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2 $$.

##### a. Calculer $$ P(-1) $$

Calculons :

$$
P(-1) = 2(-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 3(-1) + 2 = -2 - 3 + 3 + 2 = 0
$$

Donc, $$ x + 1 $$ est un facteur de $$ P(x) $$.

##### b. Factorisation complète de $$ P(x) $$

Utilisons la division polynomiale pour factoriser $$ P(x) $$ par $$ x + 1 $$.

##### c. Résoudre $$ P(x)=0 $$

Après avoir factorisé, nous résolvons les racines du polynôme.

##### d. Résoudre l'inéquation $$ P(x)>0 $$

Nous analysons les signes du polynôme pour déterminer les intervalles où $$ P(x) > 0 $$.

### Conclusion

Les réponses aux affirmations et les solutions aux exercices sont fournies ci-dessus. Si vous avez besoin de détails supplémentaires sur une partie spécifique, n'hésitez pas à demander !
**Exercice 1:** 1. **Affirmation 1:** - **Expression:** $$ A = \frac{1}{4} \ln e^{4} - \ln 2^{3} + 4 \ln 2 $$ - **Simplification:** $$ A = 1 + \ln 2 $$ - **Réponse:** c 2. **Affirmation 2:** - **Expression:** $$ B = \ln \frac{1}{27} - 4 \ln 3 $$ - **Simplification:** $$ B = -\ln 3 $$ - **Réponse:** c 3. **Affirmation 3:** - **Fonction:** $$ g(x) = 2x \ln x $$ - **Dérivée:** $$ g'(x) = 2 \ln x + 2 $$ - **Réponse:** c 4. **Affirmation 4:** - **Fonction:** $$ f(x) = \frac{\ln x}{x - 2} $$ - **Domaine de définition:** $$ ]0; +\infty[ - \{2\} $$ - **Réponse:** b 5. **Limite:** $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = +\infty $$ - **Réponse:** c **Exercice 2:** 1. **Équation:** $$ \ln (2x - 3) = \ln (x - 5) $$ - **Solution:** Aucune solution dans $$ \mathbb{R} $$ 2. **Inéquation:** $$ \ln (2x - 3) > \ln (x - 5) $$ - **Solution:** $$ x > 5 $$ 3. **Polynôme:** $$ P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 3x + 2 $$ - **Calcul de $$ P(-1) $$:** 0 - **Factorisation:** $$ P(x) = (x + 1)(2x^{2} - 5x + 2) $$ - **Résolution de $$ P(x) = 0 $$:** $$ x = -1 $$, $$ x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} $$ - **Résolution de $$ 2(\ln x)^{3} - 3(\ln x)^{2} - 3 \ln x + 2 = 0 $$:** $$ \ln x = -1 $$ ou $$ \ln x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} $$ - **Inéquation $$ P(x) > 0 $$:** $$ x > \frac{5 + \sqrt{17}}{4} $$ - **Résolution de $$ 2(\ln x)^{3} - 3(\ln x)^{2} - 3 \ln x + 2 > 0 $$:** $$ \ln x > \frac{5 + \sqrt{17}}{4} $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Exercice 1

1. Simplification de l’expression

2. Simplification de l’écriture

3. Dérivée de la fonction

4. Domaine de définition de la fonction

5. Limite

Exercice 2

1. Résoudre l’équation

2. Résoudre l’inéquation

3. Soit le polynôme .

a. Calculer

b. Factorisation complète de

c. Résoudre

d. Résoudre l’inéquation

Conclusion

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