687. $$ y=\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Функция $$ y = \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2}\right) $$ представляет собой логарифм суммы $$ x $$ и корня из суммы $$ a^2 $$ и $$ x^2 $$.

Чтобы лучше понять эту функцию, давайте рассмотрим её свойства:

1. **Область определения**: Поскольку логарифм определён только для положительных значений, необходимо, чтобы $$ x + \sqrt{a^2 + x^2} > 0 $$. Это условие выполняется для всех $$ x $$, так как $$ \sqrt{a^2 + x^2} $$ всегда неотрицателен и больше или равен $$ |x| $$.

2. **Производная**: Для нахождения производной функции можно использовать правило производной логарифма:
   $$
   y' = \frac{1}{x + \sqrt{a^2 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\right)
   $$
   Упрощая, получаем:
   $$
   y' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}}{x + \sqrt{a^2 + x^2}}
   $$

3. **Пределы**: Рассмотрим пределы функции при $$ x \to 0 $$ и $$ x \to \infty $$:
   - При $$ x \to 0 $$:
     $$
     y \to \ln \left(0 + \sqrt{a^2 + 0^2}\right) = \ln(a)
     $$
   - При $$ x \to \infty $$:
     $$
     y \to \ln \left(x + \sqrt{x^2}\right) = \ln(2x) \to \infty
     $$

4. **График**: График функции будет возрастать от $$ \ln(a) $$ при $$ x = 0 $$ и стремиться к бесконечности при $$ x \to \infty $$.

Эта функция может быть полезна в различных областях, включая физику и инженерию, где часто встречаются подобные выражения.
Функция $$ y = \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2}\right) $$ имеет положительную область определения, её производная можно найти с помощью правила производной логарифма, и её график растет от $$ \ln(a) $$ при $$ x = 0 $$ до бесконечности при $$ x \to \infty $$.

687. \( y=\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right) \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions