Exercice 7 Un service de soin palliatif vient de s'ouvrir avec 30 lits. La Direction souhaite augmenter la nombre de lits de \( 10 \% \) par an. 1. Modéliser l'évolution du nombre de lits à l'aide d'une suite. 2. Quelle est la nature de cette suite? 3. Représenter graphiquement les 5 premiers termes de la suite. 4. Combien de lit prévoit la Direction dans 5 ans? 5. Quel est le sens de variation de cette suite?

Pour modéliser l'évolution du nombre de lits, on peut utiliser une suite géométrique. Le nombre initial de lits est de \( a_0 = 30 \). À chaque année, le nombre de lits augmente de \( 10\% \), soit un multiplicateur de \( 1,1 \). Ainsi, la formule pour le nombre de lits après \( n \) années est \( a_n = 30 \times (1,1)^n \). Cette suite est géométrique car elle se construit en multipliant le terme précédent par une constante (1,1). Cela signifie que le rapport entre des termes consécutifs est constant. Pour représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite : - \( a_0 = 30 \) - \( a_1 = 30 \times 1,1 = 33 \) - \( a_2 = 30 \times (1,1)^2 ≈ 36,3 \) - \( a_3 = 30 \times (1,1)^3 ≈ 39,93 \) - \( a_4 = 30 \times (1,1)^4 ≈ 43,92 \) Cela donne un aperçu de l'augmentation, montrant une courbe ascendante. Dans 5 ans (\( n=5 \)), on calcule : \( a_5 = 30 \times (1,1)^5 ≈ 30 \times 1,61051 ≈ 48,32 \). La Direction prévoit donc environ 48 lits. Le sens de variation de cette suite est croissant, car chaque terme est obtenu par multiplication d'une valeur supérieure à 1, entraînant une augmentation continue du nombre de lits au fil des ans.