53 Determina il perimetro e l'area del quadrilatero \( A B C D \) di vertici \( A(-3,2), B(-2,0), C(2,1), D(1,4) \) [Perimetro \( =3 \sqrt{5}+\sqrt{17}+\sqrt{10} \); 54 Determina il perimetro e l'area del quadrilatero \( A B C D \) di vertici \( A(-2,3), B(2,0), C(5,2), D(0,6) \)

\[ \textbf{Problema 53:} \] \[ \begin{array}{rcl} A & = & (-3,2)\\[5mm] B & = & (-2,0)\\[5mm] C & = & (2,1)\\[5mm] D & = & (1,4) \end{array} \] \[ \textbf{Calcolo del perimetro:} \] Calcoliamo le lunghezze dei lati: \[ AB = \sqrt{((-2)-(-3))^2+(0-2)^2} = \sqrt{1^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}. \] \[ BC = \sqrt{(2-(-2))^2+(1-0)^2} = \sqrt{(4)^2+1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}. \] \[ CD = \sqrt{(1-2)^2+(4-1)^2} = \sqrt{(-1)^2+(3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}. \] \[ DA = \sqrt{(-3-1)^2+(2-4)^2} = \sqrt{(-4)^2+(-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. \] Il perimetro è quindi: \[ P = AB + BC + CD + DA = \sqrt{5}+\sqrt{17}+\sqrt{10}+2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}+\sqrt{17}+\sqrt{10}. \] \[ \textbf{Calcolo dell'area (formula di Shoelace):} \] Utilizziamo l'ordine dei vertici \( A(-3,2) \), \( B(-2,0) \), \( C(2,1) \), \( D(1,4) \). Calcoliamo le somme: \[ S_1 = x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A = (-3)(0) + (-2)(1) + (2)(4) + (1)(2) = 0 -2+8+2=8. \] \[ S_2 = y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A = (2)(-2) + (0)(2) + (1)(1) + (4)(-3) = -4+0+1-12 = -15. \] L'area è: \[ A = \frac{1}{2}\left| S_1 - S_2 \right| = \frac{1}{2}\left| 8 - (-15) \right| = \frac{1}{2}(23) = \frac{23}{2}. \] \[ \textbf{Risultato Problema 53:} \] \[ \text{Perimetro: } 3\sqrt{5}+\sqrt{17}+\sqrt{10} \quad,\quad \text{Area: } \frac{23}{2}. \] --- \[ \textbf{Problema 54:} \] \[ \begin{array}{rcl} A & = & (-2,3)\\[5mm] B & = & (2,0)\\[5mm] C & = & (5,2)\\[5mm] D & = & (0,6) \end{array} \] \[ \textbf{Calcolo del perimetro:} \] Calcoliamo le lunghezze dei lati: \[ AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5. \] \[ BC = \sqrt{(5-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}. \] \[ CD = \sqrt{(0-5)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-5)^2+4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}. \] \[ DA = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-2)^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}. \] Il perimetro è quindi: \[ P = 5+\sqrt{13}+\sqrt{41}+\sqrt{13} = 5+2\sqrt{13}+\sqrt{41}. \] \[ \textbf{Calcolo dell'area (formula di Shoelace):} \] Ordiniamo i vertici \( A(-2,3) \), \( B(2,0) \), \( C(5,2) \), \( D(0,6) \). Calcoliamo: \[ S_1 = x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A = (-2)(0) + (2)(2) + (5)(6) + (0)(3) = 0+4+30+0 = 34. \] \[ S_2 = y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A = (3)(2) + (0)(5) + (2)(0) + (6)(-2) = 6+0+0-12 = -6. \] L'area è: \[ A = \frac{1}{2}\left| S_1 - S_2 \right| = \frac{1}{2}\left| 34 - (-6) \right| = \frac{1}{2}(40) = 20. \] \[ \textbf{Risultato Problema 54:} \] \[ \text{Perimetro: } 5+2\sqrt{13}+\sqrt{41} \quad,\quad \text{Area: } 20. \]