\( y=-x^{2}+6 x-2, \quad \) traslazione di vettore \( \vec{v}(-3 ;-2) \)

Date la funzione   y = -x² + 6x - 2 e la traslazione di vettore v(-3; -2), bisogna trovare la nuova equazione dopo la traslazione. Una traslazione di un grafico, con vettore (h, k), trasforma ogni punto (x, y) in (x + h, y + k). Nel caso di funzioni, la nuova funzione g(x) si ottiene da f(x) con la regola   g(x) = f(x - h) + k. Qui h = -3 e k = -2, per cui si ha   g(x) = f(x - (-3)) + (-2) = f(x + 3) - 2. Calcoliamo f(x + 3): 1. Sostituiamo x + 3 al posto di x in f(x):   f(x + 3) = - (x + 3)² + 6(x + 3) - 2. 2. Svolgiamo (x + 3)²:   (x + 3)² = x² + 6x + 9. 3. Sostituendo:   f(x + 3) = - (x² + 6x + 9) + 6x + 18 - 2         = -x² - 6x - 9 + 6x + 18 - 2. 4. Raggruppando i termini:   Termine in x²: -x²;   Termini in x: -6x + 6x = 0;   Termini costanti: -9 + 18 - 2 = 7.   Quindi f(x + 3) = -x² + 7. 5. Applicando la traslazione verticale (sottrazione di 2):   g(x) = f(x + 3) - 2 = (-x² + 7) - 2 = -x² + 5. Pertanto, la nuova equazione dopo la traslazione di vettore v(-3; -2) è   y = -x² + 5.