Theme : fonction logacthrue neperten Exercice 1 Probabilités et In Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre incassable, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : - à l'issue de la Ire semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ; - sì le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,95 ; - si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,2 . On choisit au hasard un client parmi la clientele de l'agriculteur. Pour tout entier $$ n $$ on nul, on note $$ R_{n} $$ l'événement «le client rapporte la bouteille de son panier de la $$ n $$-ième semaine $$ $$. On note $$ r_{n}=P\left(R_{n} ight) $$. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n+1}=0,75 r_{n}+0,2 $$. (Indication : penser à utiliser un arbre pondêré.) 2. Démontrer que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n}=0,1 imes 0,75^{n-1}+0,8 $$. 3. a. Écrire un algorithme quì permet de déterminer le plus petit rang $$ n $$ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,80001 . b. Retrouver ce résultat par le calcul et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

Question

Theme : fonction logacthrue neperten Exercice 1 Probabilités et In Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre incassable, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : - à l'issue de la Ire semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ; - sì le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,95 ; - si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,2 . On choisit au hasard un client parmi la clientele de l'agriculteur. Pour tout entier $$ n $$ on nul, on note $$ R_{n} $$ l'événement «le client rapporte la bouteille de son panier de la $$ n $$-ième semaine $$ > $$. On note $$ r_{n}=P\left(R_{n}ight) $$. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n+1}=0,75 r_{n}+0,2 $$. (Indication : penser à utiliser un arbre pondêré.) 2. Démontrer que, pour tout entier naturel $$ n $$ non nul : $$ r_{n}=0,1 	imes 0,75^{n-1}+0,8 $$. 3. a. Écrire un algorithme quì permet de déterminer le plus petit rang $$ n $$ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,80001 . b. Retrouver ce résultat par le calcul et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes demandées. ### 1. Justification de la relation $$ r_{n+1} = 0,75 r_{n} + 0,2 $$ Pour justifier cette relation, nous allons utiliser un arbre pondéré. - À la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille est $$ r_1 = 0,9 $$. - Si le client rapporte la bouteille (probabilité $$ 0,9 $$), la probabilité qu'il rapporte la bouteille la semaine suivante est $$ 0,95 $$. - Si le client ne rapporte pas la bouteille (probabilité $$ 0,1 $$), la probabilité qu'il rapporte la bouteille la semaine suivante est $$ 0,2 $$. Nous pouvons donc écrire : $$ r_{n+1} = P(R_{n+1} | R_n) P(R_n) + P(R_{n+1} | \neg R_n) P(\neg R_n) $$ En remplaçant par les probabilités : $$ r_{n+1} = 0,95 \cdot r_n + 0,2 \cdot (1 - r_n) $$ Calculons cela : $$ r_{n+1} = 0,95 r_n + 0,2 - 0,2 r_n $$ $$ r_{n+1} = (0,95 - 0,2) r_n + 0,2 $$ $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$ Ainsi, nous avons justifié que $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$. ### 2. Démonstration de la formule $$ r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 $$ Nous allons résoudre la relation de récurrence $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$ en utilisant la méthode de la solution particulière et de la solution homogène. **Solution homogène :** La solution homogène de l'équation $$ r_{n+1} = 0,75 r_n $$ est de la forme : $$ r_n^h = A \cdot 0,75^n $$ **Solution particulière :** Pour la solution particulière, nous cherchons une constante $$ r^p $$ telle que : $$ r^p = 0,75 r^p + 0,2 $$ En réarrangeant, nous avons : $$ r^p - 0,75 r^p = 0,2 $$ $$ 0,25 r^p = 0,2 $$ $$ r^p = \frac{0,2}{0,25} = 0,8 $$ **Solution générale :** La solution générale est donc : $$ r_n = A \cdot 0,75^n + 0,8 $$ Pour déterminer $$ A $$, utilisons la condition initiale $$ r_1 = 0,9 $$: $$ 0,9 = A \cdot 0,75^1 + 0,8 $$ $$ 0,9 - 0,8 = A \cdot 0,75 $$ $$ 0,1 = A \cdot 0,75 $$ $$ A = \frac{0,1}{0,75} = \frac{1}{7,5} = \frac{2}{15} $$ Ainsi, nous avons : $$ r_n = \frac{2}{15} \cdot 0,75^{n-1} + 0,8 $$ ### 3. a. Algorithme pour déterminer le plus petit rang $$ n $$ Voici un algorithme simple pour déterminer le plus petit rang $$ n $$ tel que $$ r_n < 0,80001 $$: ```plaintext n = 1 r_n = 0.9 // valeur initiale while r_n >= 0.80001 do n = n + 1 r_n = 0.1 * 0.75^(n-1) + 0.8 end while return n ``` ### 3. b. Calcul et interprétation Nous allons maintenant calculer $$ n $$ tel que $$ r_n < 0,80001 $$. Nous savons que : $$ r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 $$ Nous devons résoudre : $$ 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 < 0,80001 $$ En isolant $$ 0,75^{n-1} $$: $$ 0,1 \times 0,75^{n-1} < 0,80001 - 0,8 $$ $$ 0,1 \times 0,75^{n-1} < 0,00001 $$ $$ 0,75^{n-1} < 0,0001 $$ Prenons le logarithme des deux côtés : $$ (n-1) \log(0,75) < \log(0,0001) $$ Calculons $$ \log(0,75) $$ et $$ \log(0,0001) $$: $$ \log(0,75) \approx -0,1249 $$ $$ \log(0,0001) = -4 $$ Nous avons donc : $$ n-1 > \frac{-4}{-0,1249} \approx 32,02 $$ Ainsi, $$ n > 33,02 $$, donc le plus petit entier $$ n $$ est $$ 34 $$. ### Interprétation Cela signifie qu'à partir de la 34ème semaine, la probabilité que le client rapporte la bouteille de son panier sera inférieure à 0,80001. Cela peut indiquer une tendance à la baisse de la fidélité des clients à rapporter les bouteilles au fil du temps. Pour chaque semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille est calculée par la formule $$ r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2 $$. En résolvant cette équation, on trouve que $$ r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8 $$. Pour déterminer le plus petit rang $$ n $$ où $$ r_n < 0,80001 $$, on trouve que $$ n = 34 $$. Cela signifie que à partir de la 34ème semaine, la probabilité de rapportage de la bouteille est inférieure à 0,80001.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Probability Questions