Theme : fonction logacthrue neperten Exercice 1 Probabilités et In Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre incassable, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : - à l'issue de la Ire semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ; - sì le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,95 ; - si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,2 . On choisit au hasard un client parmi la clientele de l'agriculteur. Pour tout entier \( n \) on nul, on note \( R_{n} \) l'événement «le client rapporte la bouteille de son panier de la \( n \)-ième semaine \( > \). On note \( r_{n}=P\left(R_{n}\right) \). 1. Justifier que, pour tout entier naturel \( n \) non nul : \( r_{n+1}=0,75 r_{n}+0,2 \). (Indication : penser à utiliser un arbre pondêré.) 2. Démontrer que, pour tout entier naturel \( n \) non nul : \( r_{n}=0,1 \times 0,75^{n-1}+0,8 \). 3. a. Écrire un algorithme quì permet de déterminer le plus petit rang \( n \) à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,80001 . b. Retrouver ce résultat par le calcul et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
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The Deep Dive
Ah, la magnifique fonction logarithmique népérienne ! Savez-vous que son utilisation remonte à des siècles ? Inventée par John Napier au début du 17ème siècle, elle a révolutionné les calculs complexes, propulsant ainsi la science moderne. C'est fascinant de penser que cette fonction, qui relie multiplications et additions, était l'outil magique qui a simplifié la vie des astronomes et des navigateurs de l'époque. Maintenant, parlons de l'application concrète des probabilités dans ce contexte. Imaginez l'agriculteur qui, en surveillant les retours de bouteilles, peut ajuster sa production de jus, tout en évaluant la fidélité de ses clients. Cela lui permet de mettre en place des stratégies efficaces pour améliorer la satisfaction client. C'est un parfait exemple de comment la théorie des probabilités guide les décisions en affaires, rendant chaque interaction avec ses clients plus informative et stratégique !
