El vector normal a la curva de nivel \( 6-2 x-3 y=6 \), en \( P(0,0) \) es \( \begin{array}{l}\text { a. } 3 i-j \\ \text { b. } 3 i+j \\ \text { c. } 2 i+3 j \\ \text { d. }-2 i-3 j\end{array} \)

Para encontrar el vector normal a la curva de nivel \( 6 - 2x - 3y = 6 \) en el punto \( P(0,0) \), primero simplificamos la ecuación de la curva de nivel: \[ 6 - 2x - 3y = 6 \implies -2x - 3y = 0 \implies 2x + 3y = 0 \] Ahora, para encontrar el vector normal, necesitamos calcular el gradiente de la función \( f(x, y) = 2x + 3y \). El gradiente se define como: \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Calculamos las derivadas parciales: 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2 \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} = 3 \) Por lo tanto, el gradiente es: \[ \nabla f = (2, 3) \] El vector normal a la curva de nivel en cualquier punto es igual al gradiente de la función en ese punto. Evaluamos el gradiente en el punto \( P(0,0) \): \[ \nabla f(0,0) = (2, 3) \] Esto significa que el vector normal en \( P(0,0) \) es \( 2i + 3j \). Por lo tanto, la respuesta correcta es: **c. \( 2i + 3j \)**.