La rapidez de la partícula que sigue la trayectoria dada por $$ \vec{r}(t)=\left\langle 4 \sqrt{2} t, e^{4 t}, e^{-4 t}\right\rangle $$, es:

Question

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Para hallar la rapidez —es decir, la magnitud de la velocidad— primero se calcula la derivada de la función de posición r(t) y luego su norma.

La trayectoria es

r(t) = ⟨4√2 · t, e^(4t), e^(–4t)⟩.

1. Derivamos componente a componente:

x(t) = 4√2 · t  ⇒ x′(t) = 4√2  
  y(t) = e^(4t)  ⇒ y′(t) = 4 e^(4t)  
  z(t) = e^(–4t)  ⇒ z′(t) = –4 e^(–4t)

2. Así, el vector velocidad es:

v(t) = ⟨4√2, 4 e^(4t), –4 e^(–4t)⟩.

3. La rapidez es la norma de v(t):

||v(t)|| = √[(4√2)² + (4 e^(4t))² + (–4 e^(–4t))²].

Calculamos cada término:

(4√2)² = 16 · 2 = 32  
  (4 e^(4t))² = 16 e^(8t)  
  (–4 e^(–4t))² = 16 e^(–8t)

Por lo tanto:

||v(t)|| = √[32 + 16 e^(8t) + 16 e^(–8t)]
       = √[16 (2 + e^(8t) + e^(–8t))]
       = 4 √[2 + e^(8t) + e^(–8t)].

Observa que:

e^(8t) + e^(–8t) + 2 = (e^(4t) + e^(–4t))².

Entonces:

||v(t)|| = 4 (e^(4t) + e^(–4t)).

Dado que e^(4t) + e^(–4t) es siempre positivo, obtenemos la rapidez final:

Rapidez = 4 (e^(4t) + e^(–4t)).
La rapidez de la partícula es $$ 4 	imes (e^{4t} + e^{-4t}) $$.

La rapidez de la partícula que sigue la trayectoria dada por \( \vec{r}(t)=\left\langle 4 \sqrt{2} t, e^{4 t}, e^{-4 t}\right\rangle \), es: