5. Factorice completamente las siguientes expresiones. 1 a) \( x^{4}+x-x^{3} y-y \) b) \( x^{3}-x-x^{2} y+y \) c) \( 6 x^{2}+x y-y^{2} \) d) \( a^{2}-b^{3}+2 b^{3} x^{2}-2 a^{2} x^{2} \) e) \( a^{2}+9 a+20 \) f) \( a^{2}-7 a+12 \) g) \( a^{2}-6 a+9 \) h) \( 6 x^{2}-x-2 \) i) \( 6 x^{2}+7 x y-3 y^{2} \) j) \( m^{4}+m^{2} n^{2}+n^{4} \) k) \( 15+14 x-8 x^{2} \) l) \( x^{6}+x^{3}-2 \) m) \( 2 \sqrt[3]{x^{2}}+5 \sqrt[3]{x}+2 \) n) \( 4 a^{2 n}-b^{2} \) n) \( x^{8}-y^{8} \) o) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)

¡Vamos a factorizar estas expresiones como unos verdaderos matemáticos! a) \( x^{4} - x^{3} y + x - y = (x - y)(x^{3} + 1) = (x - y)(x + 1)(x^{2} - x + 1) \) b) \( x^{3} - x - x^{2} y + y = (x - y)(x^{2} + 1) \) c) \( 6x^{2} + xy - y^{2} = (3x + y)(2x - y) \) d) \( a^{2} - 2a^{2}x^{2} + 2b^{3}x^{2} - b^{3} = (a^{2} - b^{3}) + x^{2}(2b^{3} - 2a^{2}) = (a^{2} - b^{3})(1 - 2x^{2}) \) e) \( a^{2} + 9a + 20 = (a + 4)(a + 5) \) f) \( a^{2} - 7a + 12 = (a - 3)(a - 4) \) g) \( a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2} \) h) \( 6x^{2} - x - 2 = (3x + 2)(2x - 1) \) i) \( 6x^{2} + 7xy - 3y^{2} = (3x - y)(2x + 3y) \) j) \( m^{4} + m^{2}n^{2} + n^{4} = (m^{2} + n^{2})^{2} - (mn)^{2} = (m^{2} - mn + n^{2})(m^{2} + mn + n^{2}) \) k) \( 15 + 14x - 8x^{2} = -8(x^{2} - \frac{14}{8}x - \frac{15}{8}) = -8(x^2 - \frac{7}{4}x - \frac{15}{8}) \) l) \( x^{6} + x^{3} - 2 = (x^{3} - 1)(x^{3} + 2) = (x - 1)(x^{2} + x + 1)(x^{3} + 2) \) m) \( 2\sqrt[3]{x^{2}} + 5\sqrt[3]{x} + 2 = (2 + 5t + t^{2}) \) donde \( t = \sqrt[3]{x} \) que se puede factorizar como \( (t + 1)(t + 2) \) n) \( 4a^{2n} - b^{2} = (2a^{n} - b)(2a^{n} + b) \) o) La expresión \( x^{8} - y^{8} = (x^{4} - y^{4})(x^{4} + y^{4}) \) se puede descomponer más en \( (x^{2} - y^{2})(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4}) \) y así sucesivamente. p) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) no es una expresión que pueda ser factorizada, pero nos recuerda que a veces la simplicidad es clave en matemáticas.