Primitive de $$ \frac{1}{\sin x} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Nous cherchons une primitive de 1/sin x, c'est-à-dire de la fonction csc x. Une primitive connue de csc x est :

ln |tan(x/2)| + C

Pour vérifier cette formule, nous pouvons dériver ln |tan(x/2)| :

1. Soit F(x) = ln |tan(x/2)|. Sa dérivée est donnée par la règle de dérivation d'un logarithme :
  F′(x) = (1/ tan(x/2)) · (tan(x/2))′.

2. Le dérivé de tan(x/2) est :
  (tan(x/2))′ = (1/2) · sec²(x/2).

3. On obtient alors :
  F′(x) = (1/ tan(x/2)) · (1/2) · sec²(x/2)
     = (1/2) · (sec²(x/2)/tan(x/2)).

4. Exprimons maintenant tan et sec en fonctions de sin et cos :
  tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) et sec²(x/2) = 1/ cos²(x/2).

Ainsi :
  sec²(x/2)/ tan(x/2) = (1/ cos²(x/2)) / (sin(x/2)/cos(x/2)) = 1/( sin(x/2) cos(x/2) ).

5. Nous avons alors :
  F′(x) = (1/2) · [1/( sin(x/2) cos(x/2) )].

6. Notons que l'identité trigonométrique 2 sin(x/2) cos(x/2) = sin x permet d'écrire :
  1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) = 1/sin x.

Ainsi, F′(x) = 1/sin x.

Par conséquent, ln |tan(x/2)| + C est bien une primitive de 1/sin x.
Une primitive de $$ \frac{1}{\sin x} $$ est $$ \ln |	an(x/2)| + C $$.

Primitive de \( \frac{1}{\sin x} \)