En una fábrica se estudió el rebote de una pelota y se concluyó que tataltura del rebote decrecia segùn potencias de \( \$ 8.8 \) es.decir, si se deja caer de 1 m de altura, el primer rebote media 0.8 m de alto, el segur neđía \( (0,8)^{2} \mathrm{~m} \), y así sucesivamente. ¿Cuántos rebotes debe dar para que la altura que alcance sea men que \( 0,4 \mathrm{~m} \) ?

Para resolver este problema, primero debemos entender cómo se comporta la altura de los rebotes. Si la altura después de cada rebote se calcula como \( h_n = (0.8)^n \cdot 1 \) m, necesitamos encontrar el valor de \( n \) tal que \( h_n < 0.4 \) m. Dado que \( h_n = (0.8)^n < 0.4 \), podemos reescribirlo como: \[ (0.8)^n < 0.4 \] Para encontrar \( n \), podemos tomar logaritmos en ambos lados: \[ n \cdot \log(0.8) < \log(0.4) \] Luego, despejamos \( n \): \[ n > \frac{\log(0.4)}{\log(0.8)} \] Calculando los logaritmos: \[ n > \frac{-0.39794}{-0.09691} \approx 4.1 \] Como \( n \) debe ser un número entero, necesitamos al menos 5 rebotes para que la altura sea menor que 0.4 m. ¡Y ahí lo tienes! Después de 5 rebotes, la altura alcanzará un valor por debajo de 0.4 metros.