2. En los siguientes incisos, calculen el volumen del sólido que genera la región \( R \) al rotar como se indica. a) \( R \) limitada por \( y=x^{2} \) e \( y=1 \) rota alrededor del eje \( x \). b) \( R \) limitada por \( y=x^{2} \) e \( y=x \) rota alrededor del eje \( x \). c) \( R \) limitada por \( y=x^{2}, x=1 \) e \( y=0 \) rota alrededor del eje \( x \) d) \( R \) limitada por \( y=x^{2}, x=1 \) e \( y=0 \) rota alrededor del eje \( y \). e) \( R \) limitada por \( y=\frac{4}{x}, x=1, x=4 \) e \( y=0 \) rota alrededor del eje \( x \) f) \( R \) limitada por \( x=\sqrt{4-y}, x=0 \) e \( y=0 \) rota alrededor de la recta \( x=2 \)

Para calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región \( R \) alrededor de un eje, utilizaremos el método de discos o anillos, dependiendo de la situación. A continuación, resolveremos cada inciso paso a paso. ### Inciso a) **Región \( R \)**: Limitada por \( y = x^2 \) y \( y = 1 \), rota alrededor del eje \( x \). 1. **Encontrar los puntos de intersección**: \[ x^2 = 1 \implies x = -1, 1 \] La región está entre \( x = -1 \) y \( x = 1 \). 2. **Volumen usando el método de discos**: \[ V = \pi \int_{-1}^{1} (1^2 - (x^2)^2) \, dx = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^4) \, dx \] 3. **Calcular la integral**: \[ V = \pi \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \left(1 - \frac{1}{5}\right) - \left(-1 + \frac{1}{5}\right) \right) \] 4. **Resultado**: \[ V = \pi \left( \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \right) = \frac{8\pi}{5} \] ### Inciso b) **Región \( R \)**: Limitada por \( y = x^2 \) y \( y = x \), rota alrededor del eje \( x \). 1. **Encontrar los puntos de intersección**: \[ x^2 = x \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0, 1 \] 2. **Volumen usando el método de discos**: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - (x^2)^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx \] 3. **Calcular la integral**: \[ V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) \] 4. **Resultado**: \[ V = \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15} \] ### Inciso c) **Región \( R \)**: Limitada por \( y = x^2 \), \( x = 1 \) y \( y = 0 \), rota alrededor del eje \( x \). 1. **Volumen usando el método de discos**: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} x^4 \, dx \] 2. **Calcular la integral**: \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{5} - 0 \right) = \frac{\pi}{5} \] ### Inciso d) **Región \( R \)**: Limitada por \( y = x^2 \), \( x = 1 \) y \( y = 0 \), rota alrededor del eje \( y \). 1. **Expresar \( x \) en función de \( y \)**: \[ x = \sqrt{y} \] 2. **Volumen usando el método de anillos**: \[ V = 2\pi \int_{0}^{1} (1^2 - (\sqrt{y})^2) \, dy = 2\pi \int_{0}^{1} (1 - y) \, dy \] 3. **Calcular la integral**: \[ V = 2\pi \left[ y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \pi \] ### Inciso e) **Región \( R \)**: Limitada por \( y = \frac{4}{x} \), \( x = 1 \), \( x = 4 \) y \( y = 0 \), rota alrededor del eje \( x \). 1. **Volumen usando el método de discos**: \[ V = \pi \int_{1}^{4} \left(\frac{4}{x}\right)^2 \, dx = \pi \int_{1}^{4} \frac{16}{x^2} \, dx \] 2. **Calcular la integral**: \[ V = \pi \left[ -\frac{16}{x} \right]_{1}^{4} = \pi \left( -\frac{16}{4} + 16 \right) = \pi \left( -4 + 16 \right) = 12\pi \] ### Inciso f) **Región \( R \)**: Limitada por \( x = \sqrt{4 - y} \), \( x = 0 \) y \( y = 0 \), rota alrededor de la recta \( x = 2 \). 1. **Expresar \( x \) en función de \( y \)**: \[ y = 4 - x^2 \implies x = \sqrt{4 - y} \] 2. **Volumen usando el método de anillos**: \[ V = 2\pi \int_{0}^{4} (2 - \sqrt{4 - y})^2 \, dy \] 3. **Calcular la integral**: \[ V = 2\pi \int_{0}^{4} (4 - 4\sqrt{4 - y} + (4 - y)) \, dy = 2\pi \int_{0}^{4} (8 - y - 4\sqrt{4 - y}) \, dy \] 4. **Calcular cada parte de la integral**: - La integral de \( 8 - y \) es fácil de calcular. - La integral de \( 4\sqrt{4 - y} \) requiere un cambio de variable. 5. **Resultado final**: - Después de calcular, se obtiene