Dans une entreprise, un stage de formation à l'utilisa- tion d'un nouveau logiciel de gestion a été suivi par \( 25 \% \) du personnel. On choisit dix personnes dans l'entreprise, qui possède un effectif suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note \( X \) le nombre de per- sonnes choisies qui ont suivi le stage. 1. Expliquer pourquoi \( X \) suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. 2. Calculer \( P(X=3) \). Que représente ce nombre? 3. Calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage. 4. Calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage.

1. **Pourquoi \( X \) suit une loi binomiale ? Donner les paramètres de cette loi.** La variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale car elle satisfait les deux conditions suivantes : - Le nombre d'essais est fixé : on choisit exactement 10 personnes. - Chaque essai est indépendant : le fait qu'une personne ait suivi ou non le stage ne dépend pas des autres personnes choisies. Les paramètres de la loi binomiale sont : - \( n \) : le nombre d'essais, ici \( n = 10 \). - \( p \) : la probabilité d'obtenir un succès (une personne ayant suivi le stage) à chaque essai, ici \( p = 0.25 \). Donc, \( X \) suit une loi binomiale \( B(10, 0.25) \). 2. **Calculer \( P(X=3) \). Que représente ce nombre ?** La probabilité \( P(X=3) \) est la probabilité que 3 des 10 personnes choisies aient suivi le stage. On peut la calculer en utilisant la formule de la loi binomiale : \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Pour \( k = 3 \) : \[ P(X=3) = \binom{10}{3} (0.25)^3 (0.75)^7 \] Calculons cette probabilité : \[ P(X=3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} (0.25)^3 (0.75)^7 \] \[ P(X=3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times 0.015625 \times 0.13348 \] \[ P(X=3) = 120 \times 0.015625 \times 0.13348 \] \[ P(X=3) \approx 0.263 \] Le nombre 3 représente le nombre de personnes choisies parmi les 10 qui ont suivi le stage. 3. **Calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage.** Pour calculer la probabilité que quatre personnes au plus aient suivi le stage, on somme les probabilités de \( X = 0 \) à \( X = 4 \) : \[ P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \] On utilise la formule de la loi binomiale pour chaque valeur de \( k \) : \[ P(X=k) = \binom{10}{k} (0.25)^k (0.75)^{10-k} \] Calculons ces probabilités : \[ P(X=0) = \binom{10}{0} (0.25)^0 (0.75)^{10} \] \[ P(X=1) = \binom{10}{1} (0.25)^1 (0.75)^9 \] \[ P(X=2) = \binom{10}{2} (0.25)^2 (0.75)^8 \] \[ P(X=3) = \binom{10}{3} (0.25)^3 (0.75)^7 \] \[ P(X=4) = \binom{10}{4} (0.25)^4 (0.75)^6 \] \[ P(X=0) = 1 \times 1 \times 0.13348 \] \[ P(X=1) = 10 \times 0.25 \times 0.13348 \] \[ P(X=2) = 45 \times 0.0625 \times 0.13348 \] \[ P(X=3) = 120 \times 0.015625 \times 0.13348 \] \[ P(X=4) = 210 \times 0.00390625 \times 0.015625 \] \[ P(X=0) = 0.13348 \] \[ P(X=1) = 0.3352 \] \[ P(X=2) = 0.3352 \] \[ P(X=3) = 0.263 \] \[ P(X=4) = 0.013 \] \[ P(X \leq 4) = 0.13348 + 0.3352 + 0.3352 + 0