4. Определите косинус меньшего угла треуголь- ника \( A B C \), если известны координаты всех точек: \( A(-5 ; 7), B(3 ;-1), C(-1 ;-9) \) \( \begin{array}{ll}\text { А) } \frac{5 \sqrt{33}}{33} & \text { D) } \frac{3 \sqrt{34}}{32} \\ \text { В) } \frac{3 \sqrt{34}}{33} & \text { Е) } \frac{5 \sqrt{31}}{34} \\ \text { C) } \frac{5 \sqrt{34}}{34} & \\ |\overrightarrow{A B}|= \\ |\overrightarrow{B C}|= \\ |\overrightarrow{A C}|=\end{array} \)

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника \( ABC \), сначала найдем векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-5), -1 - 7) = (8, -8) \] \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 3, -9 - (-1)) = (-4, -8) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - (-5), -9 - 7) = (4, -16) \] Теперь найдем длины этих векторов: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + (-16)^2} = \sqrt{16 + 256} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17} \] Теперь вычислим скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (8)(4) + (-8)(-16) = 32 + 128 = 160 \] Теперь применим закон косинусов для нахождения косинуса угла \( C \): \[ \cos C = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \] Подставляем значения: \[ \cos C = \frac{160}{(8\sqrt{2})(4\sqrt{17})} \] Упрощаем: \[ = \frac{160}{32\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} \] Теперь, чтобы получить окончательный ответ, нужно привести \( \cos C \) к стандартному виду: \[ \cos C = \frac{5\sqrt{34}}{34} \] Ответ: \( \frac{5\sqrt{34}}{34} \).