Dada la matriz A: $$ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 2 & 1 & 0\end{array} ight) A^{-1} $$ Calcula la matriz inversa usando el método de cofactores.

Question

Dada la matriz A: $$ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 2 & 1 & 0\end{array}ight) A^{-1} $$ Calcula la matriz inversa usando el método de cofactores.

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Sea 
$$
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix},
$$
procedemos a calcular su inversa utilizando el método de cofactores.

**Paso 1. Calcular el determinante de $$ A $$.**

Utilizamos la regla de Sarrus o la fórmula de cofactores:
$$
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}
-a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}
+a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
$$
Identificando:
$$
a_{11}=1,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=1,
$$
$$
a_{21}=0,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=3,
$$
$$
a_{31}=2,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=0,
$$
tenemos:

1. Primer término:
$$
a_{11}\det\begin{pmatrix}1 & 3 \ 1 & 0\end{pmatrix}
= 1\cdot (1\cdot 0- 3\cdot 1) = 1\cdot (-3) = -3.
$$

2. Segundo término:
$$
-a_{12}\det\begin{pmatrix}0 & 3 \ 2 & 0\end{pmatrix}
= -2\cdot (0\cdot 0- 3\cdot 2) = -2\cdot (-6)= 12.
$$

3. Tercer término:
$$
a_{13}\det\begin{pmatrix}0 & 1 \ 2 & 1\end{pmatrix}
= 1\cdot (0\cdot 1- 1\cdot 2)= 1\cdot (-2)= -2.
$$

Por lo tanto,
$$
\det(A)=-3+12-2=7.
$$

**Paso 2. Calcular los cofactores $$ C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$.**

- Para $$ i=1,\,j=1 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}1 & 3 \ 1 & 0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{11}=1\cdot 0-3\cdot 1=-3$$.
  - Cofactor: $$C_{11}= (+1)(-3)=-3$$.

- Para $$ i=1,\,j=2 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}0 & 3 \ 2 & 0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{12}=0\cdot 0-3\cdot 2=-6$$.
  - Cofactor: $$C_{12}= (-1)(-6)=6$$.

- Para $$ i=1,\,j=3 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}0 & 1 \ 2 & 1\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{13}=0\cdot 1-1\cdot 2=-2$$.
  - Cofactor: $$C_{13}= (+1)(-2)=-2$$.

- Para $$ i=2,\,j=1 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}2 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{21}=2\cdot 0-1\cdot 1=-1$$.
  - Cofactor: $$C_{21}= (-1)(-1)=1$$.

- Para $$ i=2,\,j=2 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}1 & 1 \ 2 & 0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{22}=1\cdot 0-1\cdot 2=-2$$.
  - Cofactor: $$C_{22}= (+1)(-2)=-2$$.

- Para $$ i=2,\,j=3 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}1 & 2 \ 2 & 1\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{23}=1\cdot 1-2\cdot 2=1-4=-3$$.
  - Cofactor: $$C_{23}= (-1)(-3)=3$$.

- Para $$ i=3,\,j=1 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}2 & 1 \ 1 & 3\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{31}=2\cdot 3-1\cdot 1=6-1=5$$.
  - Cofactor: $$C_{31}= (+1)(5)=5$$.

- Para $$ i=3,\,j=2 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 3\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{32}=1\cdot 3-1\cdot 0=3$$.
  - Cofactor: $$C_{32}= (-1)(3)=-3$$.

- Para $$ i=3,\,j=3 $$:
  - Menor: $$\begin{pmatrix}1 & 2 \ 0 & 1\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow M_{33}=1\cdot 1-2\cdot 0=1$$.
  - Cofactor: $$C_{33}= (+1)(1)=1$$.

La matriz de cofactores es:
$$
C=\begin{pmatrix}
-3 & 6 & -2\[6pt]
1 & -2 & 3\[6pt]
5 & -3 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Paso 3. Calcular la matriz adjunta, que es la transpuesta de la matriz de cofactores.**

$$
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 5\[6pt]
6 & -2 & -3\[6pt]
-2 & 3 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Paso 4. Calcular $$ A^{-1} $$.**

Utilizamos la fórmula:
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
$$
Dado que $$\det(A)=7$$, obtenemos:
$$
A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 5\[6pt]
6 & -2 & -3\[6pt]
-2 & 3 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Esta es la matriz inversa de $$ A $$.
La matriz inversa de $$ A $$ es: $$ A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} -3 & 1 & 5\ 6 & -2 & -3\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}. $$

Dada la matriz A: \( A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right) A^{-1} \) Calcula la matriz inversa usando el método de cofactores.

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