Теңсіздікті шешіңіз: \( \sqrt{2}-2 \sin x>0 \) \( -\frac{5 \pi}{3}+2 \pi n

Ask by Martin Craig. in Kazakhstan

Oct 31,2024

Решим неравенство \( \sqrt{2} - 2 \sin x > 0 \). 1. Перепишем неравенство: \[ \sqrt{2} > 2 \sin x \] или \[ \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. Теперь найдем, при каких значениях \( x \) выполняется это неравенство. Мы знаем, что \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). 3. Таким образом, неравенство \( \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется в интервалах: \[ \left( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) \quad \text{и} \quad \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \right) \] 4. Теперь рассмотрим предложенные интервалы: - \( -\frac{5 \pi}{3} + 2 \pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \) - \( -\frac{5 \pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n \) - \( \frac{\pi}{4} + 2 \pi n < x < \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n \) - \( -\frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2 \pi n \) 5. Из этих интервалов, подходящие для нашего неравенства: - \( -\frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2 \pi n \) (включает интервал, где \( \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} \)) - \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \) (не представлен в вариантах) Таким образом, правильный ответ: \[ -\frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]