c) \( \frac{\frac{2 m}{m-2}-\frac{m}{m+3}}{\frac{m+8}{m^{2}+m-6}} \)

Um den Ausdruck \( \frac{\frac{2 m}{m-2}-\frac{m}{m+3}}{\frac{m+8}{m^{2}+m-6}} \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Zähler vereinfachen**: Der Zähler ist \( \frac{2 m}{m-2} - \frac{m}{m+3} \). Um diese beiden Brüche zu subtrahieren, benötigen wir einen gemeinsamen Nenner. Der gemeinsame Nenner ist \( (m-2)(m+3) \). \[ \frac{2 m}{m-2} = \frac{2 m(m+3)}{(m-2)(m+3)} = \frac{2m^2 + 6m}{(m-2)(m+3)} \] \[ \frac{m}{m+3} = \frac{m(m-2)}{(m+3)(m-2)} = \frac{m^2 - 2m}{(m-2)(m+3)} \] Jetzt können wir die beiden Brüche subtrahieren: \[ \frac{2m^2 + 6m - (m^2 - 2m)}{(m-2)(m+3)} = \frac{2m^2 + 6m - m^2 + 2m}{(m-2)(m+3)} = \frac{m^2 + 8m}{(m-2)(m+3)} \] 2. **Nenner vereinfachen**: Der Nenner ist \( \frac{m+8}{m^2+m-6} \). Zuerst faktorisieren wir \( m^2 + m - 6 \): \[ m^2 + m - 6 = (m-2)(m+3) \] Daher wird der Nenner: \[ \frac{m+8}{(m-2)(m+3)} \] 3. **Gesamter Ausdruck**: Jetzt setzen wir den Zähler und den Nenner zusammen: \[ \frac{\frac{m^2 + 8m}{(m-2)(m+3)}}{\frac{m+8}{(m-2)(m+3)}} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ \frac{m^2 + 8m}{m + 8} \] 4. **Faktorisieren des Zählers**: Der Zähler \( m^2 + 8m \) kann faktorisieren werden: \[ m^2 + 8m = m(m + 8) \] Somit wird der gesamte Ausdruck: \[ \frac{m(m + 8)}{m + 8} \] Wenn \( m + 8 \neq 0 \) (d.h. \( m \neq -8 \)), können wir \( m + 8 \) kürzen: \[ m \] 5. **Endergebnis**: Der vereinfachte Ausdruck ist: \[ m \quad (m \neq -8) \]