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Use the quadratic formula to solve the equation. \( 2 x^{2}+4 x+1=0 \) The solution set is \( \} \). (Simplify your answer. Tyoe an exact answer uning cadicals and ins net

Ask by Rogers Flynn. in the United States
Mar 13,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The solutions are \( x = -\frac{2+\sqrt{2}}{2} \) and \( x = \frac{-2+\sqrt{2}}{2} \).

Solución

Solve the equation \( 2x^2+4x+1=0 \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve using the quadratic formula: \(2x^{2}+4x+1=0\) - step1: Solve using the quadratic formula: \(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4\times 2}}{2\times 2}\) - step2: Simplify the expression: \(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4\times 2}}{4}\) - step3: Simplify the expression: \(x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{4}\) - step4: Simplify the expression: \(x=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4}\) - step5: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x=\frac{-4+2\sqrt{2}}{4}\\&x=\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}\end{align}\) - step6: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}\\&x=\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}\end{align}\) - step7: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}\\&x=-\frac{2+\sqrt{2}}{2}\end{align}\) - step8: Rewrite: \(x_{1}=-\frac{2+\sqrt{2}}{2},x_{2}=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}\) The solutions to the equation \(2x^{2}+4x+1=0\) using the quadratic formula are: \[ x_{1} = -\frac{2+\sqrt{2}}{2} \] \[ x_{2} = \frac{-2+\sqrt{2}}{2} \] Therefore, the solution set is \( \{-\frac{2+\sqrt{2}}{2}, \frac{-2+\sqrt{2}}{2}\} \).

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Extra Insights

To solve the equation \( 2x^2 + 4x + 1 = 0 \) using the quadratic formula, we have: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] Here, \( a = 2 \), \( b = 4 \), and \( c = 1 \). Plugging in these values: 1. Calculate the discriminant: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \] 2. Now substitute into the quadratic formula: \[ x = \frac{{-4 \pm \sqrt{8}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{-4 \pm 2\sqrt{2}}}{4} = \frac{{-2 \pm \sqrt{2}}}{2} \] Thus, the solutions are: \[ x = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{and} \quad x = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] The solution set is \(\left\{-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\).

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