Упражнения № 8.42 . Найти экстремумы функции a) \( z=-x^{2}-x y-y^{2}+3 x-6 y \) б) \( z=3 x^{3}+y^{2}+4 x y-x+2 \)

Рассмотрим каждую функцию отдельно. ────────────────────────────── а) Функция   z = –x² – x·y – y² + 3x – 6y 1. Найдём стационарные точки, для которых выполняется zₓ = 0 и zᵧ = 0. Вычислим первые производные:  • zₓ = ∂z/∂x = –2x – y + 3,  • zᵧ = ∂z/∂y = –x – 2y – 6. Приравниваем их к нулю:  (1) –2x – y + 3 = 0 ⟹ y = –2x + 3,  (2) –x – 2y – 6 = 0. Подставляем (1) в (2):  –x – 2(–2x + 3) – 6 = 0 ⟹ –x + 4x – 6 – 6 = 0 ⟹ 3x – 12 = 0 ⟹ x = 4. Тогда по (1):  y = –2·4 + 3 = –8 + 3 = –5. Стационарная точка: (4, –5). 2. Для классификации вычисляем вторые производные (гессиан):  • zₓₓ = ∂²z/∂x² = –2,  • zᵧᵧ = ∂²z/∂y² = –2,  • zₓᵧ = zᵧₓ = ∂²z/(∂x∂y) = –1. Гессиан (H) имеет вид:   H = [ [–2, –1],       [–1, –2] ]. Определитель гессиана: D = (–2)(–2) – (–1)² = 4 – 1 = 3 > 0, а zₓₓ = –2 < 0, значит мы имеем локальный максимум. 3. Найдем значение функции в стационарной точке:  z(4, –5) = –(4²) – (4·(–5)) – (–5)² + 3·4 – 6·(–5)           = –16 + 20 – 25 + 12 + 30           = 21. Ответ по пункту (а): функция имеет единственный экстремум — локальный максимум в точке (4, –5) с z = 21. ────────────────────────────── б) Функция   z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2 1. Находим критические точки, для которых zₓ = 0 и zᵧ = 0. Вычислим первые производные:  • zₓ = ∂z/∂x = 9x² + 4y – 1,  • zᵧ = ∂z/∂y = 2y + 4x. Приравниваем их к нулю: Из уравнения zᵧ = 0:  2y + 4x = 0 ⟹ y = –2x. Подставляем y = –2x в zₓ = 0:  9x² + 4(–2x) – 1 = 0 ⟹ 9x² – 8x – 1 = 0. Решим квадратное уравнение 9x² – 8x – 1 = 0. Найдём дискриминант:  D = (–8)² – 4·9·(–1) = 64 + 36 = 100. Отсюда:  x = [8 ± √100] / (18) = [8 ± 10] / 18. Получаем два решения:  • x₁ = (8 + 10)/18 = 18/18 = 1,  • x₂ = (8 – 10)/18 = (–2)/18 = –1/9. Соответствующие y:  • Для x = 1: y = –2·1 = –2,  • Для x = –1/9: y = –2·(–1/9) = 2/9. Итак, критические точки: (1, –2) и (–1/9, 2/9). 2. Классифицируем критические точки с помощью второго порядка производных. Вычисляем вторые производные:  • zₓₓ = ∂²z/∂x² = 18x,  • zᵧᵧ = ∂²z/∂y² = 2,  • zₓᵧ = zᵧₓ = 4. Построим гессиан H = [ [18x, 4], [4, 2] ] и найдём его определитель:  D = (18x)(2) – 4² = 36x – 16. Рассмотрим каждую точку:  a) Для (1, –2):   zₓₓ = 18·1 = 18 ( > 0),   D = 36·1 – 16 = 20 > 0.   Следовательно, в точке (1, –2) функция имеет локальный минимум.  b) Для (–1/9, 2/9):   zₓₓ = 18·(–1/9) = –2 (< 0),   D = 36·(–1/9) – 16 = –4 – 16 = –20 < 0.   Отрицательный определитель указывает на седловую точку. 3. Вычислим значения функции в найденных точках. Для (1, –2):  z(1, –2) = 3·1³ + (–2)² + 4·1·(–2) – 1 + 2        = 3 + 4 – 8 – 1 + 2        = 0. Для (–1/9, 2/9):  Считаем по частям:   3x³ = 3·(–1/9)³ = 3·(–1/729) = –1/243,   y² = (2/9)² = 4/81,   4xy = 4·(–1/9)·(2/9) = –8/81,   –x = –(–1/9) = 1/9,   постоянная = 2.  Переведём все дроби к знаменателю 243:   –1/243,   4/81 = (4·3)/243 = 12/243,   –8/81 = –(8·3)/243 = –24/243,   1/9 = (1·27)/243 = 27/243,   2 = 2·243/243 = 486/243.  Складываем:   (–1 + 12 – 24 + 27 + 486) / 243 = (500) / 243 ≈ 2,0576. Ответ по пункту (б):  • Точка (1, –2) является точкой локального минимума, где z = 0.  • Точка (–1/9, 2/9) имеет седловой характер, z ≈ 500/243. ────────────────────────────── Итоговый ответ: а) Функция z = –x² – xy – y² + 3x – 6y имеет единственную стационарную точку (4, –5), которая является точкой локального максимума, причем z(4, –5) = 21. б) Функция z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2 имеет две критические точки:  – Точка (1, –2) – локальный минимум, где z(1, –2) = 0.  – Точка (–1/9, 2/9) – седловая точка, где z(–1/9, 2/9) = 500/243 ≈ 2,06.