\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a} \) y \( \sqrt[n]{a^{n}}=a \)

Para demostrar las dos igualdades dadas, procederemos paso a paso. ### Primera igualdad: \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a} \) 1. **Definición de la raíz**: Recordemos que la raíz \( m \)-ésima de un número \( x \) se puede expresar como \( x^{1/m} \). Por lo tanto, podemos reescribir la expresión \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \) de la siguiente manera: \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{1/m} \] 2. **Aplicar la definición de la raíz nuevamente**: Ahora, aplicamos la definición de la raíz \( n \)-ésima a \( a \): \[ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} \] Sustituyendo esto en la expresión anterior, tenemos: \[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^{1/m} = \left(a^{1/n}\right)^{1/m} \] 3. **Propiedad de las potencias**: Usamos la propiedad de las potencias que dice que \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \): \[ \left(a^{1/n}\right)^{1/m} = a^{(1/n) \cdot (1/m)} = a^{1/(mn)} \] 4. **Reescribiendo la raíz**: La expresión \( a^{1/(mn)} \) se puede reescribir como: \[ a^{1/(mn)} = \sqrt[mn]{a} \] Por lo tanto, hemos demostrado que: \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a} \] ### Segunda igualdad: \( \sqrt[n]{a^{n}}=a \) 1. **Definición de la raíz**: Nuevamente, aplicamos la definición de la raíz: \[ \sqrt[n]{a^{n}} = (a^{n})^{1/n} \] 2. **Aplicar la propiedad de las potencias**: Usamos la propiedad de las potencias: \[ (a^{n})^{1/n} = a^{n \cdot (1/n)} = a^{1} = a \] Por lo tanto, hemos demostrado que: \[ \sqrt[n]{a^{n}} = a \] ### Conclusión Ambas igualdades han sido demostradas: 1. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a} \) 2. \( \sqrt[n]{a^{n}} = a \)