Encuentra la distancia que hay entre el punto \( p(x, y) \) y la línea \( A x+B y+C= \) g) \( p(3,7) \) \( \begin{array}{ll}\text { h) } p(4,12) & 1: 2 x+3 y+4=0 \\ \text { i) } y=4 x+5 & y=4 x+7\end{array} \)

**g) Distancia del punto \( p(3,7) \) a la línea \( 2x+3y+4=0 \):** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: \[ d=\frac{\left|Ax_{0}+By_{0}+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \] donde el punto es \( (x_0,y_0) \) y la recta está en la forma \( Ax+By+C=0 \). Para el punto \( p(3,7) \) y la recta \( 2x+3y+4=0 \): - \( A=2 \), \( B=3 \) y \( C=4 \). - Sustituimos: \[ \left|2(3)+3(7)+4\right|=\left|6+21+4\right|=|31|=31 \] - El denominador es: \[ \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \] Por lo tanto, la distancia es: \[ d=\frac{31}{\sqrt{13}} \] --- **h) Distancia del punto \( p(4,12) \) a la recta \( 2x+3y+4=0 \):** Nuevamente, aplicamos la misma fórmula. Para el punto \( p(4,12) \): - Calculamos el numerador: \[ \left|2(4)+3(12)+4\right|=\left|8+36+4\right|=|48|=48 \] - El denominador se mantiene: \[ \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13} \] La distancia es: \[ d=\frac{48}{\sqrt{13}} \] --- **i) Distancia entre las rectas \( y=4x+5 \) y \( y=4x+7 \):** Primero, expresamos ambas rectas en la forma general \( Ax+By+C=0 \). - Para \( y=4x+5 \): \[ 4x-y+5=0 \quad \text{(aquí, } A=4,\; B=-1,\; C=5\text{)} \] - Para \( y=4x+7 \): \[ 4x-y+7=0 \quad \text{(aquí, } A=4,\; B=-1,\; C=7\text{)} \] La fórmula para la distancia entre dos rectas paralelas \( Ax+By+C_1=0 \) y \( Ax+By+C_2=0 \) es: \[ d=\frac{\left|C_{2}-C_{1}\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \] Aplicamos esta fórmula: - La diferencia en los términos independientes es: \[ |7-5|=2 \] - El denominador es: \[ \sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17} \] Por lo tanto, la distancia entre las rectas es: \[ d=\frac{2}{\sqrt{17}} \]