พิจารณาข้อความต่อไปนี้ \( \begin{array}{l}\text { ก. } \lim _{x \rightarrow 1}(f(x)+g(x)) \text { หาค่าได้ } \\ \text { ข. ฟังก์ชัน } f+g \text { มีความต่อเนื่องบนช่วง }[-2,5] \\ \text { ค. } \lim _{x \rightarrow 1}(f(x) g(x)) \text { หาค่าได้ }\end{array} \)

1. พิจารณาสมบัติของลิมิตมาตรฐาน เมื่อเราทราบว่า \[ \lim_{x \to 1} f(x) \quad \text{และ} \quad \lim_{x \to 1} g(x) \] มีอยู่ (หรือมีค่า) แล้ว เราสามารถใช้สมบัติของลิมิตในการบวกและคูณฟังก์ชันได้ ดังนี้ 2. สำหรับข้อความ ก เรามีสมบัติว่า \[ \lim_{x \to 1}\bigl[f(x)+g(x)\bigr] = \lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 1} g(x) \] ซึ่งหมายความว่าหากลิมิตของ \( f(x) \) และ \( g(x) \) มีอยู่แล้ว ผลรวมก็มีลิมิตได้เสมอ → ข้อความ ก จึงเป็นจริง 3. สำหรับข้อความ ค โดยใช้สมบัติของลิมิตของผลคูณ เราสามารถเขียนได้ว่า \[ \lim_{x \to 1}\bigl[f(x)g(x)\bigr] = \lim_{x \to 1} f(x) \cdot \lim_{x \to 1} g(x) \] ทำให้ถ้าลิมิตของ \( f(x) \) และ \( g(x) \) มีอยู่ ผลคูณของลิมิตก็มีอยู่ → ข้อความ ค จึงเป็นจริง 4. สำหรับข้อความ ข ข้อความนี้ระบุว่า "ฟังก์ชัน \( f+g \) มีความต่อเนื่องบนช่วง \([-2,5]\)" เพื่อให้ฟังก์ชันใด ๆ มีความต่อเนื่องในช่วงหนึ่ง จำเป็นต้องรู้ว่าสิ่งที่กำหนดฟังก์ชันนั้นมีความต่อเนื่องในทุกจุดของช่วงนั้น การที่ลิมิต \( \lim_{x \to 1} f(x) \) และ \( \lim_{x \to 1} g(x) \) มีอยู่ (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือมีลักษณะต่อเนื่องที่ \( x=1 \)) ไม่สามารถสรุปได้ทันทีว่า \( f+g \) ต่อเนื่องในทุกจุดของ \([-2,5]\) → ข้อความ ข จึงไม่สามารถสรุปให้เป็นจริงได้ สรุป - ข้อความ ก: จริง - ข้อความ ข: ไม่แน่นอน (หรือเท็จ ในบริบทที่ให้ข้อมูลไม่เพียงพอว่าฟังก์ชันทั้งสองต่อเนื่องทุกจุด) - ข้อความ ค: จริง