(43) Vérifier que \( 5^{3} \equiv 1 \) [31]. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de \( 7 \times 5^{15}-6 \) par 31 ?

**1. Vérification de \( 5^{3} \equiv 1 \mod{31} \)** Calculons \( 5^{3} \) modulo 31 : \[ 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 \] Divisons 125 par 31 : \[ 125 \div 31 = 4 \text{ avec un reste de } 1 \quad \text{(puisque } 31 \times 4 = 124 \text{ et } 125 - 124 = 1\text{)} \] Ainsi, \[ 125 \equiv 1 \mod{31} \] Donc, \[ 5^{3} \equiv 1 \mod{31} \] **2. Calcul du reste de la division de \( 7 \times 5^{15} - 6 \) par 31** Nous devons trouver \( 7 \times 5^{15} - 6 \mod{31} \). D'abord, observons que \( 5^{3} \equiv 1 \mod{31} \). Cela implique que les puissances de 5 se répètent tous les 3 exposants modulo 31. Calculons \( 5^{15} \mod{31} \) : \[ 15 \div 3 = 5 \text{ avec un reste de } 0 \] Ainsi, \[ 5^{15} = (5^{3})^{5} \equiv 1^{5} = 1 \mod{31} \] Maintenant, calculons \( 7 \times 5^{15} - 6 \mod{31} \) : \[ 7 \times 5^{15} - 6 \equiv 7 \times 1 - 6 = 7 - 6 = 1 \mod{31} \] **Conclusion :** Le reste de la division euclidienne de \( 7 \times 5^{15} - 6 \) par 31 est **1**.