Câu 10. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian $$ O x y z $$, mặt phẳng $$ (P) $$ đi qua hai điểm $$ A(0 ; 1 ; 0) $$, $$ B(2 ; 3 ; 1) $$ và vuông góc với mặt phẳng $$ (Q): x+2 y-z=0 $$ có phương trình là A. $$ 4 x-3 y+2 z+3=0 $$. B. $$ 4 x-3 y-2 z+3=0 $$.C. $$ 2 x+y-3 z-1=0 $$. D. $$ 4 x+y-2 z-1=0 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Để tìm phương trình mặt phẳng $$ (P) $$ đi qua hai điểm $$ A(0 ; 1 ; 0) $$ và $$ B(2 ; 3 ; 1) $$ và vuông góc với mặt phẳng $$ (Q): x + 2y - z = 0 $$, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $$ (Q) $$

Phương trình mặt phẳng $$ (Q) $$ có dạng $$ ax + by + cz = d $$, trong đó $$ a = 1 $$, $$ b = 2 $$, $$ c = -1 $$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $$ (Q) $$ là:
$$
\vec{n_Q} = (1, 2, -1)
$$

### Bước 2: Tìm vector chỉ phương của đoạn thẳng $$ AB $$

Vector chỉ phương của đoạn thẳng $$ AB $$ được tính bằng cách lấy tọa độ điểm $$ B $$ trừ đi tọa độ điểm $$ A $$:
$$
\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (2, 2, 1)
$$

### Bước 3: Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $$ (P) $$

Mặt phẳng $$ (P) $$ vuông góc với mặt phẳng $$ (Q) $$ và đi qua đoạn thẳng $$ AB $$, do đó vector pháp tuyến của mặt phẳng $$ (P) $$ sẽ là tích có hướng của hai vector $$ \vec{n_Q} $$ và $$ \vec{AB} $$:
$$
\vec{n_P} = \vec{n_Q} \times \vec{AB}
$$

Tính tích có hướng:
$$
\vec{n_P} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
1 & 2 & -1 \
2 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= \hat{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - \hat{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 2)
$$
$$
= \hat{i}(2 + 2) - \hat{j}(1 + 2) + \hat{k}(2 - 4)
$$
$$
= 4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}
$$
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng $$ (P) $$ là $$ (4, -3, -2) $$.

### Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng $$ (P) $$

Phương trình mặt phẳng có dạng:
$$
4(x - x_0) - 3(y - y_0) - 2(z - z_0) = 0
$$
Với $$ (x_0, y_0, z_0) $$ là tọa độ của một trong hai điểm $$ A(0, 1, 0) $$ hoặc $$ B(2, 3, 1) $$. Ta chọn điểm $$ A(0, 1, 0) $$:
$$
4(x - 0) - 3(y - 1) - 2(z - 0) = 0
$$
$$
4x - 3y + 3 - 2z = 0
$$
Sắp xếp lại:
$$
4x - 3y - 2z + 3 = 0
$$
Vậy phương trình mặt phẳng $$ (P) $$ là:
$$
4x - 3y - 2z + 3 = 0
$$

### Bước 5: So sánh với các phương án

Ta có phương trình:
$$
4x - 3y - 2z + 3 = 0
$$
So sánh với các phương án:
- A. $$ 4x - 3y + 2z + 3 = 0 $$ (không đúng)
- B. $$ 4x - 3y - 2z + 3 = 0 $$ (đúng)
- C. $$ 2x + y - 3z - 1 = 0 $$ (không đúng)
- D. $$ 4x + y - 2z - 1 = 0 $$ (không đúng)

### Kết luận

Phương trình mặt phẳng $$ (P) $$ là:
**B. $$ 4x - 3y - 2z + 3 = 0 $$**.
Phương trình mặt phẳng $$ (P) $$ là $$ 4x - 3y - 2z + 3 = 0 $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions