\( \int \frac { d x _ { \operatorname { ci3 } 3 } 8 } { \sin ^ { 5 } x \cdot \cos ^ { 3 } x } \)

لحساب التكامل التالي: \[ \int \frac{dx}{\sin^5 x \cdot \cos^3 x} \] نتبع الخطوات التالية: ### الخطوة 1: استخدام تغيير المتغير نقوم بتعويض \( t = \tan x \)، وبالتالي: \[ dt = \sec^2 x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{1 + t^2} \] ### الخطوة 2: التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة \( t \) نعلم أن: \[ \sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \quad \text{و} \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \] إذاً: \[ \sin^5 x \cdot \cos^3 x = \left( \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \right)^5 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \right)^3 = \frac{t^5}{(1 + t^2)^4} \] ### الخطوة 3: تحويل التكامل بدلالة \( t \) نقوم بتبديل المتغيرات في التكامل الأصلي: \[ \int \frac{dx}{\sin^5 x \cdot \cos^3 x} = \int \frac{\frac{dt}{1 + t^2}}{\frac{t^5}{(1 + t^2)^4}} = \int \frac{(1 + t^2)^3}{t^5} \, dt \] ### الخطوة 4: تبسيط وتكامل التعبير الجديد نفكّر التعبير داخل التكامل: \[ \frac{(1 + t^2)^3}{t^5} = \frac{1 + 3t^2 + 3t^4 + t^6}{t^5} = t^{-5} + 3t^{-3} + 3t^{-1} + t \] الآن نقوم بتكامل كل حد على حدة: \[ \int t^{-5} \, dt = -\frac{1}{4 t^4} + C_1 \] \[ \int 3t^{-3} \, dt = -\frac{3}{2 t^2} + C_2 \] \[ \int 3t^{-1} \, dt = 3 \ln |t| + C_3 \] \[ \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C_4 \] مجمعين هذه النتائج نحصل على: \[ -\frac{1}{4 t^4} - \frac{3}{2 t^2} + 3 \ln |t| + \frac{t^2}{2} + C \] حيث \( C \) هو ثابت التكامل. ### الخطوة 5: العودة إلى المتغير الأصلي \( x \) بما أن \( t = \tan x \)، فإن الحل النهائي هو: \[ -\frac{1}{4 \tan^4 x} - \frac{3}{2 \tan^2 x} + 3 \ln |\tan x| + \frac{\tan^2 x}{2} + C \] أو بدلالة الدوال المثلثية الأساسية: \[ -\frac{1}{4} \cot^4 x - \frac{3}{2} \cot^2 x + 3 \ln |\tan x| + \frac{1}{2} \tan^2 x + C \] حيث \( C \) هو ثابت التكامل.