Pregunta
upstudy study bank question image url

Question 4 4.1. Given \( \sin \alpha=-\frac{8}{17} \), where \( 0^{\circ}<\alpha<270^{\circ} \), determine with the aid of a sketch, the value of the following: 4.1.1. \( \tan \alpha \) 4.1.2. \( \cos 2 \alpha \) 4.1.3. \( \sin \frac{\alpha}{2} \) 4.2. Simplify the following trigonometric expression, leaving your answer to only one trigonometric ratio: \( \left[\sin \left(x-1980^{\circ}\right)-\cos (-x)\right]^{2} \)

Ask by Blake Salinas. in South Africa
Mar 18,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

- \( \tan \alpha = \frac{8}{15} \) - \( \cos 2\alpha = \frac{161}{289} \) - \( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{4}{\sqrt{17}} \) - \( \left[\sin \left(x-1980^{\circ}\right)-\cos (-x)\right]^{2} = 1 + \sin(2x) \)

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Beyond the Answer

To tackle \( \tan \alpha \), we first note that the angle \( \alpha \) lies in the third quadrant since \( \sin \alpha = -\frac{8}{17} \). Using the Pythagorean identity, we find \( \cos \alpha \). Thus, \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{8}{17})^2 = \frac{15}{17} \), leading to \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{17} \) (since cosine is also negative in the third quadrant). Therefore, \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{8}{17}}{-\frac{\sqrt{15}}{17}} = \frac{8}{\sqrt{15}} \). Using the double angle formula, \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \) gives us \( \cos 2\alpha = 2 \left(-\frac{\sqrt{15}}{17}\right)^2 - 1 = \frac{30}{289} - 1 = \frac{-259}{289} \). Now for \( \sin \frac{\alpha}{2} \), we apply the half-angle formula: \( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \). This leads to \( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{15}}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{17 + \sqrt{15}}{34}} \). For the expression \( \left[\sin (x-1980^{\circ})-\cos (-x)\right]^{2} \), we first simplify \( \sin (x-1980^{\circ}) \) since \( 1980^{\circ} \) is equivalent to \( 540^{\circ} \) (due to the periodicity of sine and cosine). Thus, we find \( \sin (x-540^{\circ}) = \sin (x) \). As \( \cos(-x) = \cos(x) \), we rewrite our expression as \( [\sin(x) - \cos(x)]^2 \). The final simplified result is \( \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 - \sin(2x) \).

Latest Trigonometry Questions

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad