Pregunta
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Identify the polygon with vertices \( H(-6,-2), A(-10,4) \), \( T(-6,6) \), and \( C(-2,4) \) and then find the perimeter and area of the polygon.

Ask by Martinez Osborne. in the United States
Mar 12,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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The polygon is a kite. Its perimeter is \(4\sqrt{13} + 4\sqrt{5}\) units, and its area is 32 square units.

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Bonus Knowledge

To identify the polygon with the given vertices \( H(-6,-2) \), \( A(-10,4) \), \( T(-6,6) \), and \( C(-2,4) \), we can start by plotting these points on a Cartesian coordinate system and connecting them in the order they are given. The vertices form a quadrilateral since there are four points. To find the perimeter, we need to calculate the lengths of each side: 1. Distance \( HA \): \[ d = \sqrt{(-10 - (-6))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21 \] 2. Distance \( AT \): \[ d = \sqrt{(-6 - (-10))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47 \] 3. Distance \( TC \): \[ d = \sqrt{(-2 - (-6))^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47 \] 4. Distance \( CH \): \[ d = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21 \] Now, summing all these lengths gives us the perimeter: \[ \text{Perimeter} = HA + AT + TC + CH \approx 7.21 + 4.47 + 4.47 + 7.21 \approx 23.36 \] Next, to find the area of the quadrilateral formed by the vertices \( H \), \( A \), \( T \), and \( C \), we can use the shoelace formula: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Assigning the points as follows: - \( H(-6, -2) \) (point 1) - \( A(-10, 4) \) (point 2) - \( T(-6, 6) \) (point 3) - \( C(-2, 4) \) (point 4) The calculation becomes: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| (-6)(4) + (-10)(6) + (-6)(4) + (-2)(-2) - ((-2)(-10) + 4(-6) + 6(-2) + 4(-6)) \right| \] Calculating the right-hand side: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| -24 -60 -24 + 4 - (20 -24 -12 -24) \right| = \frac{1}{2} \left| -104 + 8 \right| = \frac{1}{2} \left| -96 \right| = 48 \] Thus, the area of the polygon is \( 48 \) square units. Final Results: - **Identified Polygon**: Quadrilateral - **Perimeter**: Approximately \( 23.36 \) - **Area**: \( 48 \) square units.

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