7. (P.19) Calcule $$ a_{1} $$ y $$ r $$ para cada sucesión geométrica, sabiendo qu $$ \begin{array}{ll} ext { a) } a_{2}=10 ext { y } a_{4}=40 & ext { b) } a_{3}=6 ext { y } a_{5}=24 \ ext { c) } a_{3}=5 ext { y } a_{5}=80 & ext { d) } a_{3}=32 ext { y } a_{5}=128 \ ext { e) } a_{2}=2 ext { y } a_{4}=32 & ext { f) } a_{3}=18 ext { y } a_{4}=-54\end{array} $$

Question

7. (P.19) Calcule $$ a_{1} $$ y $$ r $$ para cada sucesión geométrica, sabiendo qu $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } a_{2}=10 	ext { y } a_{4}=40 & 	ext { b) } a_{3}=6 	ext { y } a_{5}=24 \ 	ext { c) } a_{3}=5 	ext { y } a_{5}=80 & 	ext { d) } a_{3}=32 	ext { y } a_{5}=128 \ 	ext { e) } a_{2}=2 	ext { y } a_{4}=32 & 	ext { f) } a_{3}=18 	ext { y } a_{4}=-54\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver cada uno de los casos, utilizaremos la fórmula de la sucesión geométrica, que se define como:

$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$

donde $$ a_n $$ es el término en la posición $$ n $$, $$ a_1 $$ es el primer término y $$ r $$ es la razón de la sucesión.

### a) $$ a_{2}=10 $$ y $$ a_{4}=40 $$

1. Usamos la fórmula para $$ a_2 $$:
   $$
   a_2 = a_1 \cdot r^{2-1} = a_1 \cdot r
   $$
   Por lo tanto, tenemos:
   $$
   a_1 \cdot r = 10 \quad (1)
   $$

2. Usamos la fórmula para $$ a_4 $$:
   $$
   a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} = a_1 \cdot r^3
   $$
   Por lo tanto, tenemos:
   $$
   a_1 \cdot r^3 = 40 \quad (2)
   $$

3. Dividimos (2) entre (1):
   $$
   \frac{a_1 \cdot r^3}{a_1 \cdot r} = \frac{40}{10}
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   r^2 = 4 \implies r = 2 \quad (r > 0)
   $$

4. Sustituyendo $$ r $$ en (1):
   $$
   a_1 \cdot 2 = 10 \implies a_1 = 5
   $$

### b) $$ a_{3}=6 $$ y $$ a_{5}=24 $$

1. Usamos la fórmula para $$ a_3 $$:
   $$
   a_3 = a_1 \cdot r^{3-1} = a_1 \cdot r^2
   $$
   Por lo tanto, tenemos:
   $$
   a_1 \cdot r^2 = 6 \quad (1)
   $$

2. Usamos la fórmula para $$ a_5 $$:
   $$
   a_5 = a_1 \cdot r^{5-1} = a_1 \cdot r^4
   $$
   Por lo tanto, tenemos:
   $$
   a_1 \cdot r^4 = 24 \quad (2)
   $$

3. Dividimos (2) entre (1):
   $$
   \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2} = \frac{24}{6}
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   r^2 = 4 \implies r = 2
   $$

4. Sustituyendo $$ r $$ en (1):
   $$
   a_1 \cdot 2^2 = 6 \implies a_1 \cdot 4 = 6 \implies a_1 = \frac{3}{2}
   $$

### c) $$ a_{3}=5 $$ y $$ a_{5}=80 $$

1. Usamos la fórmula para $$ a_3 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^2 = 5 \quad (1)
   $$

2. Usamos la fórmula para $$ a_5 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^4 = 80 \quad (2)
   $$

3. Dividimos (2) entre (1):
   $$
   \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2} = \frac{80}{5}
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   r^2 = 16 \implies r = 4
   $$

4. Sustituyendo $$ r $$ en (1):
   $$
   a_1 \cdot 4^2 = 5 \implies a_1 \cdot 16 = 5 \implies a_1 = \frac{5}{16}
   $$

### d) $$ a_{3}=32 $$ y $$ a_{5}=128 $$

1. Usamos la fórmula para $$ a_3 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^2 = 32 \quad (1)
   $$

2. Usamos la fórmula para $$ a_5 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^4 = 128 \quad (2)
   $$

3. Dividimos (2) entre (1):
   $$
   \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2} = \frac{128}{32}
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   r^2 = 4 \implies r = 2
   $$

4. Sustituyendo $$ r $$ en (1):
   $$
   a_1 \cdot 2^2 = 32 \implies a_1 \cdot 4 = 32 \implies a_1 = 8
   $$

### e) $$ a_{2}=2 $$ y $$ a_{4}=32 $$

1. Usamos la fórmula para $$ a_2 $$:
   $$
   a_1 \cdot r = 2 \quad (1)
   $$

2. Usamos la fórmula para $$ a_4 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^3 = 32 \quad (2)
   $$

3. Dividimos (2) entre (1):
   $$
   \frac{a_1 \cdot r^3}{a_1 \cdot r} = \frac{32}{2}
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   r^2 = 16 \implies r = 4
   $$

4. Sustituyendo $$ r $$ en (1):
   $$
   a_1 \cdot 4 = 2 \implies a_1 = \frac{1}{2}
   $$

### f) $$ a_{3}=18 $$ y $$ a_{4}=-54 $$

1. Usamos la fórmula para $$ a_3 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^2 = 18 \quad (1)
   $$

2. Usamos la fórmula para $$ a_4 $$:
   $$
   a_1 \cdot r^3 = -54 \quad (2)
   $$

3. Dividimos (2) entre (1):
   \[
   \frac{a_1 \cdot r^3}{a_1 \cdot
Para cada sucesión geométrica, se calcula $$ a_1 $$ y $$ r $$ utilizando la fórmula $$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$. Se resuelven las ecuaciones para encontrar los valores de $$ a_1 $$ y $$ r $$ en cada caso. a) $$ a_1 = 5 $$, $$ r = 2 $$ b) $$ a_1 = \frac{3}{2} $$, $$ r = 2 $$ c) $$ a_1 = \frac{5}{16} $$, $$ r = 4 $$ d) $$ a_1 = 8 $$, $$ r = 2 $$ e) $$ a_1 = \frac{1}{2} $$, $$ r = 4 $$ f) $$ a_1 = -\frac{18}{r} $$, $$ r = -3 $$

(P.19) Calcule y para cada sucesión geométrica, sabiendo qu

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