5) Um retângulo tem dimensőes $$ (x+3) $$ e $$ (x-1) $$, Qual o valor de $$ x $$ se a área desse retângulo vale Area =base,altura

Question

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Considerando que a área de um retângulo é calculada pelo produto da base pela altura, temos que, para um retângulo com dimensões $$ (x+3) $$ e $$ (x-1) $$:

$$
A = (x+3)(x-1)
$$

Para efetuar a multiplicação, usamos a propriedade distributiva:

$$
(x+3)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-1)
$$

$$
= x^2 - x + 3x - 3
$$

$$
= x^2 + 2x - 3
$$

Assim, a área é dada por

$$
A = x^2 + 2x - 3.
$$

No entanto, para que um retângulo seja geometricamente válido, suas dimensões (base e altura) devem ser números positivos. Isso implica:

1. $$ x+3 > 0 $$ ⟹ $$ x > -3 $$
2. $$ x-1 > 0 $$ ⟹ $$ x > 1 $$

A condição mais restritiva é $$ x > 1 $$.

Se o enunciado pretendia que a área do retângulo fosse igual à expressão obtida pela multiplicação das dimensões, então não há equação a resolver (é uma definição). Mas, se houvesse um valor numérico especificado para a área, por exemplo, se fosse dado que

$$
(x+3)(x-1) = K,
$$

com $$K$$ representando a área numérica, seria necessário resolver a equação:

$$
x^2 + 2x - 3 = K.
$$

Neste caso, isolando zero, teríamos:

$$
x^2 + 2x - (3+K) = 0,
$$

e poderíamos usar a fórmula de Bhaskara:

$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot(- (3+K))}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(3+K)}}{2},
$$

$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4(1+3+K)}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{K+4}}{2},
$$

$$
x = -1 \pm \sqrt{K+4}.
$$

Como para as dimensões serem positivas precisamos de $$ x>1 $$, escolheríamos a solução positiva:

$$
x = -1 + \sqrt{K+4}, \quad \text{com a restrição de que } -1+\sqrt{K+4}>1.
$$

Sem um valor específico de $$K$$ (a área numérica), não é possível determinar $$x$$ de forma única.

Portanto, se o problema se resume a expressar a área em função de $$x$$ e impor a condição de validade para as dimensões, concluímos que:

- A área é $$A = x^2+2x-3$$.
- E para que as dimensões sejam positivas é necessário que $$x>1$$.
Para um retângulo com dimensões $$ (x+3) $$ e $$ (x-1) $$, a área é $$ A = x^2 + 2x - 3 $$. Para que as dimensões sejam válidas, $$ x $$ deve ser maior que 1. Sem um valor específico para a área, não podemos determinar $$ x $$ de forma única.

5) Um retângulo tem dimensőes \( (x+3) \) e \( (x-1) \), Qual o valor de \( x \) se a área desse retângulo vale Area =base,altura

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