b) Resuelvan las siguientes ecuaciones completando el cuadrado: - \( 2 x^{2}-3 x-2=0 \) - \( x^{2}+2 x+5=0 \) - \( 3 x^{2}-4 x+1=0 \) - \( 5 x^{2}-6 x+1=0 \)

Para resolver la primera ecuación \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \) completando el cuadrado, primero dividimos toda la ecuación entre 2: \( x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0 \). Luego, pasamos el término constante al otro lado: \( x^2 - \frac{3}{2}x = 1 \). Ahora completamos el cuadrado sumando \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\) en ambos lados: \( x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16} \) que da como resultado \( (x - \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16} \). Al tomar la raíz cuadrada y despejar, las soluciones son \( x = \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4} \), que dan \( x = 2 \) y \( x = -\frac{1}{2} \). Siguiendo con la segunda ecuación \( x^2 + 2x + 5 = 0 \), pasamos el 5 al otro lado: \( x^2 + 2x = -5 \). Luego, completamos el cuadrado sumando \(\left(1\right)^2 = 1\) en ambos lados: \( x^2 + 2x + 1 = -4 \), que luego se simplifica a \( (x+1)^2 = -4 \). Esto implica que las soluciones son complejas: \( x + 1 = \pm 2i \), por lo que \( x = -1 \pm 2i \). Para la tercera ecuación \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \), dividimos por 3: \( x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} = 0 \). Pasamos el término constante al otro lado: \( x^2 - \frac{4}{3}x = -\frac{1}{3} \). Completamos el cuadrado sumando \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\): \( x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = -\frac{1}{3} + \frac{4}{9}\), que resulta en: \( (x - \frac{2}{3})^2 = -\frac{1}{9} \). Al despejar, obtenemos soluciones complejas: \( x = \frac{2}{3} \pm \frac{i}{3} \). Finalmente, para \( 5x^2 - 6x + 1 = 0 \), dividimos entre 5: \( x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{1}{5} = 0 \). Move el término constante: \( x^2 - \frac{6}{5}x = -\frac{1}{5} \). Completamos el cuadrado con \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\): \( x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{9}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{9}{25} \), llevándonos a \( (x - \frac{3}{5})^2 = \frac{4}{25} \). Finalmente, las soluciones son \( x = \frac{3}{5} \pm \frac{2}{5} \), resultando en \( x = 1 \) y \( x = \frac{1}{5} \).