Data la seguente funzione: \( f(x)=e^{\sqrt{x}} \) per \( x \rightarrow+\infty \), si ha: a. \( f(x) \) è un infinitesimo di ordine superiore a \( x^{2} \) b. \( f(x) \) è un infinito di ordine inferiore a \( x^{2} \) c. \( f(x) \) è un infinito dello stesso ordine di \( x^{2} \) d. \( f(x) \) è un infinitesimo dello stesso ordine di \( x^{2} \) e. \( f(x) \) è un infinito di ordine superiore a \( x^{2} \)

Per determinare l'ordine di crescita della funzione \( f(x) = e^{\sqrt{x}} \) rispetto a \( x^2 \) per \( x \rightarrow +\infty \), analizziamo il limite: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\sqrt{x}}}{x^2} \] Calcoliamo il logaritmo del rapporto per semplificare l'analisi: \[ \ln\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{x^2}\right) = \sqrt{x} - 2 \ln x \] Osserviamo che \( \sqrt{x} \) cresce più velocemente di \( \ln x \) quando \( x \) tende a infinito. Di conseguenza: \[ \sqrt{x} - 2 \ln x \rightarrow +\infty \quad \text{per} \quad x \rightarrow +\infty \] Questo implica che: \[ \frac{e^{\sqrt{x}}}{x^2} \rightarrow +\infty \quad \text{per} \quad x \rightarrow +\infty \] Pertanto, \( f(x) = e^{\sqrt{x}} \) cresce più rapidamente di \( x^2 \) quando \( x \) tende a infinito, il che significa che \( f(x) \) è un infinito di ordine superiore a \( x^2 \). **Risposta corretta:** e. \( f(x) \) è un infinito di ordine superiore a \( x^{2} \)