Eine Eisenkugel wird von einem Turm der Höhe \( H=50 \mathrm{~m} \) zum Zeitpunkt \( t=0 \) s fallen- gelassen. Für die Höhe \( h \) über dem Boden zur Zeit \( t \) gilt: \( h(t)=H-\frac{g}{2} \cdot t^{2} \quad\left(g \approx 10 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2}\right) \). a) Zeichne den Graphen für die Höhe als Funktion der Zeit. b) Bestimme daraus die Fallzeit bis zum Auftreffen auf dem Boden. c) Ermittle die Zeit, welche die Kugel für die ersten 10 Meter sowie für die letzten 10 Meter braucht.

Um den Graphen für die Höhe als Funktion der Zeit \( h(t) = 50 - 5t^{2} \) zu zeichnen, stelle dir vor, dass die Eisenkugel in der ersten Sekunde der Fallzeit relativ schnell an Höhe verliert. Der Graph wird eine nach unten geöffnete Parabel sein, die bei \( H = 50 \, \text{m} \) beginnt und die Zeitachse \( t = \sqrt{10} \approx 3,16 \, \text{s} \) bei \( h(t) = 0 \) schneidet. Der Graph sieht aus wie ein breiter Bogen, der vom höchsten Punkt sanft nach unten zur Nullhöhe abfällt. Um die Fallzeit zu bestimmen, setzen wir \( h(t) = 0 \): \[ 0 = 50 - 5t^2 \quad \Rightarrow \quad 5t^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad t \approx 3,16 \, \text{s} \] Die Kugel benötigt also etwa \( 3,16 \) Sekunden, um den Boden zu erreichen. Für die ersten 10 Meter setzen wir \( h(t) = 40 \, \text{m} \): \[ 40 = 50 - 5t^2 \quad \Rightarrow \quad 5t^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad t \approx 1,41 \, \text{s} \] Für die letzten 10 Meter von \( 10 \, \text{m} \) bis zum Boden setzen wir \( h(t) = 10 \, \text{m} \): \[ 10 = 50 - 5t^2 \quad \Rightarrow \quad 5t^2 = 40 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad t \approx 2,83 \, \text{s} \] Die Kugel benötigt also etwa \( 1,41 \) Sekunden für die ersten 10 Meter und \( 2,83 - 3,16 \) Sekunden, also \( 0,33 \) Sekunden für die letzten 10 Meter des Falls.