Exercice 8. (1) Décrire le groupe $$ (\mathbb{Z} / 27 Z)^{\star} $$. (2) Quel est l'ordre de 2 dans $$ (\mathbb{Z} / 27 \mathbb{Z})^{\star} $$ ? le groupe $$ (\mathbb{Z} / 27 \mathbb{Z})^{\star} $$ est t-il cyclique? (3) Trouver tous les éléments d'ordre 2 dans $$ (\mathbb{Z} / 27 \mathbb{Z})^{\star} $$. (4) Soit $$ H:=\left\{x \in(\mathbb{Z} / 27 \mathbb{Z})^{\star} \mid x^{6}=1\right\} $$. Le sous-groupe $$ H $$ de $$ (\mathbb{Z} / 27 \mathbb{Z})^{\star} $$ est-il cyclique? quel est son ordre? déterminer tous les générateurs de $$ H $$.

Question

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1. On a $$\varphi(27)=27-9=18$$. Ainsi, l’ensemble des unités modulo 27 a 18 éléments. Comme $$27=p^3$$ avec $$p=3$$ impair, le groupe
$$
(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}
$$
est cyclique d’ordre 18 (isomorphe à $$\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$$).

2. On souhaite déterminer l’ordre de 2 modulo 27. On calcule successivement :
  
- $$2^1\equiv2$$
- $$2^2\equiv4$$
- $$2^3\equiv8$$
- $$2^4\equiv16$$
- $$2^5\equiv32\equiv5$$ (car $$32-27=5$$)
- $$2^6\equiv2^5\cdot2\equiv5\cdot2=10$$
- $$2^7\equiv10\cdot2=20$$
- $$2^8\equiv20\cdot2=40\equiv13$$ (car $$40-27=13$$)
- $$2^9\equiv13\cdot2=26$$
- $$2^{10}\equiv26\cdot2=52\equiv25$$ (car $$52-27=25$$)
- $$2^{11}\equiv25\cdot2=50\equiv23$$ (car $$50-27=23$$)
- $$2^{12}\equiv23\cdot2=46\equiv19$$ (car $$46-27=19$$)
- $$2^{13}\equiv19\cdot2=38\equiv11$$ (car $$38-27=11$$)
- $$2^{14}\equiv11\cdot2=22$$
- $$2^{15}\equiv22\cdot2=44\equiv17$$ (car $$44-27=17$$)
- $$2^{16}\equiv17\cdot2=34\equiv7$$ (car $$34-27=7$$)
- $$2^{17}\equiv7\cdot2=14$$
- $$2^{18}\equiv14\cdot2=28\equiv1$$

On voit que $$2^{18}\equiv1 \pmod{27}$$ et que 18 est le plus petit exposant tel que $$2^k\equiv 1$$. Par conséquent, l’ordre de 2 est 18, ce qui confirme que 2 est un générateur du groupe cyclique $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$.

3. Dans un groupe cyclique, s’il existe un élément d’ordre 2, il est unique. En effet, dans un groupe d’ordre pair, l’unique solution non triviale de $$x^2=1$$ est l’élément d’ordre 2. Puisque l’ordre de $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$ est 18, un nombre pair, l’unique élément distinct de 1 qui vérifie $$x^2=1$$ est $$2^9$$ (car, dans un groupe cyclique d’ordre $$n$$, si $$g$$ est générateur, alors $$g^{n/2}$$ a ordre 2).

Ici, $$2^9\equiv26 \pmod{27}$$. Le seul élément d’ordre 2 est donc $$26$$ modulo 27.

4. Soit
$$
H=\{ x\in(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star} \mid x^6=1\}.
$$
Puisque $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$ est cyclique d’ordre 18 et que si $$g$$ est un générateur (par exemple $$g=2$$), tout élément s’écrit $$g^k$$ pour un certain $$k$$ entre 0 et 17. L’équation $$(g^k)^6=g^{6k}=1$$ se traduit par
$$
18\mid 6k\quad\Longrightarrow\quad 3\mid k.
$$
Les puissances autorisées sont donc $$k=0, 3, 6, 9, 12, 15$$. Ainsi, on a
$$
H=\{ g^0,\, g^3,\, g^6,\, g^9,\, g^{12},\, g^{15}\}.
$$
Le sous-groupe $$H$$ a alors 6 éléments. Comme tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique, $$H$$ est cyclique d’ordre 6.

Nous voulons ensuite déterminer tous les générateurs de $$H$$. Si $$H$$ est cyclique d’ordre 6 et si $$h$$ est un générateur, les générateurs de $$H$$ sont les puissances $$h^k$$ avec $$\gcd(k,6)=1$$, c’est-à-dire pour $$k=1$$ et $$k=5$$. Par exemple, en choisissant
$$
h=g^3,
$$
on a :
- $$h=g^3\equiv2^3\equiv8\pmod{27}$$,
- $$h^5=g^{15}\equiv2^{15}\equiv17\pmod{27}$$ (comme calculé précédemment).

Ainsi, les deux générateurs de $$H$$ sont $$8$$ et $$17$$ modulo 27.

En résumé :
1. $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$ est cyclique d’ordre 18 (isomorphe à $$\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$$).
2. L’ordre de 2 est
1. Le groupe $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$ est cyclique d'ordre 18. 2. L'ordre de 2 dans $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$ est 18, ce qui signifie que 2 est un générateur du groupe. 3. L'unique élément d'ordre 2 dans $$(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z})^{\star}$$ est 26 modulo 27. 4. Le sous-groupe $$H$$ est cyclique d'ordre 6. Ses générateurs sont 8 et 17 modulo 27.

Exercice 8. (1) Décrire le groupe .
(2) Quel est l’ordre de 2 dans ? le groupe est t-il cyclique?
(3) Trouver tous les éléments d’ordre 2 dans .
(4) Soit . Le sous-groupe de est-il cyclique? quel
est son ordre? déterminer tous les générateurs de .

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Exercice 8. (1) Décrire le groupe . (2) Quel est l’ordre de 2 dans ? le groupe est t-il cyclique? (3) Trouver tous les éléments d’ordre 2 dans . (4) Soit . Le sous-groupe de est-il cyclique? quel est son ordre? déterminer tous les générateurs de .