19. Para las siguientes series alternadas, determine si son convergentes o divergentes. E convergente indique si es en forma absoluta o condicional. $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{n}}{n!} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n+3}(-1)^{n+1}\left(\frac{n}{5}\right)^{n} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{3}} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{n+1} $$

Question

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1. $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n^n}{n!}$$ Analicemos la convergencia de la serie considerando la convergencia absoluta. Se analiza la serie de términos positivos $$ a_n=\frac{n^n}{n!}. $$ Aplicamos la prueba del cociente: $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)\, n!}\, n!=\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n. $$ Se sabe que $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e>1. $$ Como el límite del cociente es mayor que $$1$$, la serie de términos positivos diverge, por lo que la serie original diverge y no es convergente de forma absoluta ni condicional. --- 2. $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n+3}(-1)^{n+1}\left(\frac{n}{5}\right)^n$$ Notemos que hay dos factores $$(-1)^{n+1}$$ cuyo producto es $$ (-1)^{n+1} \cdot (-1)^{n+1} = (-1)^{2(n+1)} = 1. $$ Por tanto, la serie se reduce a $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3}\left(\frac{n}{5}\right)^n. $$ Examinemos el término general: $$ a_n=\frac{1}{n+3}\left(\frac{n}{5}\right)^n. $$ Para $$n$$ grande, $$\left(\frac{n}{5}\right)^n$$ crece extremadamente rápido cuando $$\frac{n}{5}>1$$ (por ejemplo, para $$n\geq6$$). Además, el límite $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \infty, $$ por lo que los términos no tienden a $$0$$, y la serie diverge. --- 3. $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n^3}$$ Consideramos la serie de términos positivos $$ a_n=\frac{1}{n^3}. $$ Esta es una $$p$$-serie con $$p=3>1$$; por lo tanto, la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $$ converge absolutamente. Concluimos que la serie alternada converge absolutamente. --- 4. $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}$$ Estudiamos la convergencia absoluta y condicional. La serie absoluta es $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}, $$ que es una $$p$$-serie con $$p=\frac{1}{2}<1$$; por lo tanto, diverge. Ahora, apliquemos la prueba de la serie alternada. Consideramos $$ b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}. $$ Observamos que: - $$b_n>0$$ y es decreciente (ya que $$\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$$). - $$\lim_{n\to\infty} b_n=0$$. Por lo tanto, la serie alternada converge, pero de forma condicional. --- 5. $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$$ Para aplicar la prueba de la serie alternada, se debe verificar que los términos $$b_n=\frac{n}{n+1}$$ tienden a $$0$$ y sean monótonamente decrecientes. Se observa que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1}=1\neq 0. $$ Al no cumplirse la condición necesaria de que los términos tiendan a $$0$$, la serie diverge. --- Resumiendo: 1. La serie $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n^n}{n!}$$ diverge. 2. La serie $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n+3}(-1)^{n+1}\left(\frac{n}{5}\right)^n$$ (equivalente a $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3}\left(\frac{n}{5}\right)^n$$) diverge. 3. La serie $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n^3}$$ converge absolutamente. 4. La serie $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}$$ converge condicionalmente. 5. La serie $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$$ diverge. 1. The series $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n^n}{n!}$$ diverges. 2. The series $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n+3}(-1)^{n+1}\left(\frac{n}{5}\right)^n$$ diverges. 3. The series $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n^3}$$ converges absolutely. 4. The series $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}$$ converges conditionally. 5. The series $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$$ diverges.

Para las siguientes series alternadas, determine si son convergentes o divergentes. E
convergente indique si es en forma absoluta o condicional.

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