A reta tangente à curva \( y=x-\sqrt{x} \) que seja paralela à reta \( -3 x+5 y+1=0 \), intersecta o eixo das ordenadas no ponto: Escolha uma opção: a. \( \left(0,-\frac{5}{8}\right) \) b. \( \left(0, \frac{8}{5}\right) \) c. \( \left(0, \frac{5}{8}\right) \) d. \( \left(0,-\frac{8}{5}\right) \)

Para encontrar a reta tangente à curva \( y=x-\sqrt{x} \) que é paralela à reta \( -3x + 5y + 1 = 0 \), precisamos primeiro determinar o coeficiente angular da reta dada. Colocando a equação na forma \( y = mx + b \), obtemos o coeficiente angular \( m = \frac{3}{5} \). Agora, vamos calcular a derivada da função \( y = x - \sqrt{x} \) para encontrar as interseções onde a tangente tem o mesmo coeficiente angular. A derivada é: \[ y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Igualando \( y' \) a \( \frac{3}{5} \): \[ 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{5} \] Resolvendo a equação: \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \] \[ 2\sqrt{x} = \frac{5}{2} \] \[ \sqrt{x} = \frac{5}{4} \] \[ x = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \] Substituindo \( x \) na função original para encontrar \( y \): \[ y = \frac{25}{16} - \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{25}{16} - \frac{5}{4} = \frac{25}{16} - \frac{20}{16} = \frac{5}{16} \] Agora, a reta tangente na ponto \(\left(\frac{25}{16}, \frac{5}{16}\right)\) pode ser escrita usando a fórmula da equação da reta na forma \( y - y_1 = m(x - x_1) \): \[ y - \frac{5}{16} = \frac{3}{5}\left(x - \frac{25}{16}\right) \] Para encontrar o ponto de interseção com o eixo \( y \) (onde \( x = 0 \)): \[ y - \frac{5}{16} = \frac{3}{5}\left(0 - \frac{25}{16}\right) \] \[ y - \frac{5}{16} = -\frac{75}{80} = -\frac{15}{16} \] \[ y = \frac{5}{16} - \frac{15}{16} = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8} \] Portanto, a reta tangente intersecta o eixo das ordenadas no ponto \( \left(0, -\frac{5}{8}\right) \), que corresponde à alternativa **a**.