2. Halla dos radicales equivalentes a cada radical. $$ \begin{array}{ll} ext { a. } \sqrt[4]{5 x} & ext { b. } \sqrt[8]{(7 d)^{22}} \ \begin{array}{ll} ext { c. }(27 h)^{\frac{6}{7}} & ext { d. } 56^{\frac{1}{3}} \ ext { e. } \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2} ight)^{4}} & ext { f. }\left(\frac{8}{5} ight)^{\frac{3}{9}}\end{array}\end{array} $$.

Question

2. Halla dos radicales equivalentes a cada radical. $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } \sqrt[4]{5 x} & 	ext { b. } \sqrt[8]{(7 d)^{22}} \ \begin{array}{ll}	ext { c. }(27 h)^{\frac{6}{7}} & 	ext { d. } 56^{\frac{1}{3}} \ 	ext { e. } \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2}ight)^{4}} & 	ext { f. }\left(\frac{8}{5}ight)^{\frac{3}{9}}\end{array}\end{array} $$.

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Para encontrar dos radicales equivalentes a cada uno de los radicales dados, utilizaremos propiedades de los exponentes y radicales. Vamos a resolver cada uno de los casos paso a paso.

### a. $$ \sqrt[4]{5x} $$

1. **Primer radical equivalente**: Podemos expresar el radical como una potencia:
   $$
   \sqrt[4]{5x} = (5x)^{\frac{1}{4}}
   $$
   
2. **Segundo radical equivalente**: Usando la propiedad de los exponentes, podemos separar el radical:
   $$
   \sqrt[4]{5x} = 5^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}
   $$

### b. $$ \sqrt[8]{(7d)^{22}} $$

1. **Primer radical equivalente**: Aplicamos la propiedad de los exponentes:
   $$
   \sqrt[8]{(7d)^{22}} = (7d)^{\frac{22}{8}} = (7d)^{\frac{11}{4}}
   $$

2. **Segundo radical equivalente**: Separando el radical:
   $$
   \sqrt[8]{(7d)^{22}} = 7^{\frac{11}{4}} \cdot d^{\frac{11}{4}}
   $$

### c. $$ (27h)^{\frac{6}{7}} $$

1. **Primer radical equivalente**: Podemos expresar el radical como una potencia:
   $$
   (27h)^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{(27h)^{6}}
   $$

2. **Segundo radical equivalente**: Separando el radical:
   $$
   (27h)^{\frac{6}{7}} = 27^{\frac{6}{7}} \cdot h^{\frac{6}{7}}
   $$

### d. $$ 56^{\frac{1}{3}} $$

1. **Primer radical equivalente**: Expresamos como un radical:
   $$
   56^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{56}
   $$

2. **Segundo radical equivalente**: Usando la propiedad de los exponentes:
   $$
   56^{\frac{1}{3}} = (56^{\frac{1}{3}})^{1} = (56^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{3}} = \sqrt[3]{56^{1}} = \sqrt[3]{56}
   $$

### e. $$ \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} $$

1. **Primer radical equivalente**: Aplicamos la propiedad de los exponentes:
   $$
   \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} = \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{4}{16}} = \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{1}{4}}
   $$

2. **Segundo radical equivalente**: Separando el radical:
   $$
   \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} = \frac{g^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}}
   $$

### f. $$ \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} $$

1. **Primer radical equivalente**: Simplificamos la fracción del exponente:
   $$
   \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} = \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}
   $$

2. **Segundo radical equivalente**: Usando la propiedad de los exponentes:
   $$
   \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}
   $$

### Resumen de radicales equivalentes

- a. $$ \sqrt[4]{5x} $$: $$ (5x)^{\frac{1}{4}} $$, $$ 5^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} $$
- b. $$ \sqrt[8]{(7d)^{22}} $$: $$ (7d)^{\frac{11}{4}} $$, $$ 7^{\frac{11}{4}} \cdot d^{\frac{11}{4}} $$
- c. $$ (27h)^{\frac{6}{7}} $$: $$ \sqrt[7]{(27h)^{6}} $$, $$ 27^{\frac{6}{7}} \cdot h^{\frac{6}{7}} $$
- d. $$ 56^{\frac{1}{3}} $$: $$ \sqrt[3]{56} $$, $$ 56^{\frac{1}{3}} $$
- e. $$ \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} $$: $$ \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{1}{4}} $$, $$ \frac{g^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} $$
- f. $$ \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} $$: $$ \sqrt[3]{\frac{8}{5}} $$, $$ \frac{8^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}} $$
a. $$ \sqrt[4]{5x} $$ es equivalente a $$ (5x)^{\frac{1}{4}} $$ y $$ 5^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} $$. b. $$ \sqrt[8]{(7d)^{22}} $$ es equivalente a $$ (7d)^{\frac{11}{4}} $$ y $$ 7^{\frac{11}{4}} \cdot d^{\frac{11}{4}} $$. c. $$ (27h)^{\frac{6}{7}} $$ es equivalente a $$ \sqrt[7]{(27h)^{6}} $$ y $$ 27^{\frac{6}{7}} \cdot h^{\frac{6}{7}} $$. d. $$ 56^{\frac{1}{3}} $$ es equivalente a $$ \sqrt[3]{56} $$ y $$ 56^{\frac{1}{3}} $$. e. $$ \sqrt[16]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} $$ es equivalente a $$ \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{1}{4}} $$ y $$ \frac{g^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} $$. f. $$ \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} $$ es equivalente a $$ \sqrt[3]{\frac{8}{5}} $$ y $$ \frac{8^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}} $$.

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