Ejercicio 1. Analiza y resuelve las siguientes integrales. 1. \( \int\left(\operatorname{sen} x \cdot \cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{3} x \cdot \cos x\right) d x \) 2. \( \int \csc x \cot \frac{1}{2} x d x \)

1. Resolver la integral \[ \int\Big(\sen x\cdot\cos^2 x-\sen^3 x\cdot\cos x\Big)dx \] Procedemos de la siguiente manera. Primero, se observa que ambas parcelas tienen en común el factor \(\sen x\cos x\). Por ello, se factoriza: \[ \sen x\cos^2x-\sen^3x\cos x=\sen x\cos x\Big(\cos x-\sen^2x\Big). \] Ahora, utilizando la identidad \(\sen^2x=1-\cos^2x\) en el paréntesis: \[ \cos x-\sen^2x=\cos x-\big(1-\cos^2x\big)=\cos x-1+\cos^2x. \] Aunque se podría continuar por esta vía, resulta más conveniente efectuar el cambio de variable: Sea \[ u=\cos x,\quad \text{de donde se tiene}\quad du=-\sen x\,dx. \] Despejamos \(dx\): \[ dx=-\frac{du}{\sen x}. \] Sustituimos en la integral original. Recordamos que también \(\cos x=u\) y \(\cos^2x=u^2\). Entonces: \[ \begin{aligned} \int\Big(\sen x\cos^2x-\sen^3x\cos x\Big)dx &= \int\Big(\sen x\cdot u^2-\sen^3x\cdot u\Big)dx\\[1mm] &=\int\Big(\sen x\cdot u^2-\sen^3x\cdot u\Big)\Big(-\frac{du}{\sen x}\Big)\\[1mm] &=-\int\Big(u^2-\sen^2x\cdot u\Big)du. \end{aligned} \] Como \(\sen^2x=1-\cos^2x=1-u^2\), tenemos: \[ -\int\Big(u^2-u\big(1-u^2\big)\Big)du=-\int\Big(u^2-u+u^3\Big)du. \] Realizamos la integración término a término: \[ \begin{aligned} -\int u^3\,du &= -\frac{u^4}{4},\\[1mm] -\int u^2\,du &= -\frac{u^3}{3},\\[1mm] -\int (-u)\,du &= +\int u\,du=\frac{u^2}{2}. \end{aligned} \] Por lo que se obtiene: \[ -\frac{u^4}{4}-\frac{u^3}{3}+\frac{u^2}{2}+C. \] Recordando que \(u=\cos x\), la solución es: \[ \boxed{ -\frac{\cos^4 x}{4}-\frac{\cos^3 x}{3}+\frac{\cos^2 x}{2}+C. } \] 2. Resolver la integral \[ \int \csc x\,\cot\frac{x}{2}\,dx. \] Primero, expresamos las funciones en términos de \(\sin\) y \(\cos\): \[ \csc x=\frac{1}{\sin x}\quad \text{y}\quad \cot\frac{x}{2}=\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}. \] Utilizando la fórmula de ángulo doble, sabemos que: \[ \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}. \] Por ello: \[ \csc x=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}, \] y el producto se simplifica: \[ \csc x\,\cot\frac{x}{2}=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}=\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}. \] Es decir, \[ \csc x\,\cot\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\csc^2\frac{x}{2}. \] Así, la integral se reescribe como: \[ \int \csc x\,\cot\frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int \csc^2\frac{x}{2}\,dx. \] Realizamos el cambio de variable \[ u=\frac{x}{2}\quad \Rightarrow\quad dx=2\,du. \] Sustituyendo: \[ \frac{1}{2}\int \csc^2u\,(2\,du)=\int \csc^2u\,du. \] Recordando que la integral de \(\csc^2u\) es \[ \int \csc^2u\,du=-\cot u+C, \] regresamos a la variable original: \[ \boxed{-\cot\frac{x}{2}+C.} \]