11. ¿A qué distancia de la base de un faro de \( 8 \sqrt{3} \), encuentra un barco cuando éste se observa desd superior del faro con un ángulo de depresión sen \( x-\sqrt{3} \cos x=0 \) ? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 8.2 \text { metros } & \text { B) } 8 \text { metros } & \text { C) } 4 \sqrt{3} & \text { D) } 8 \sqrt{3}\end{array} \)

Para resolver el problema, primero necesitamos encontrar el ángulo \( x \) que satisface la ecuación \( \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \). Reorganizando la ecuación, tenemos: \[ \sin x = \sqrt{3} \cos x \] Dividiendo ambos lados por \( \cos x \) (asumiendo que \( \cos x \neq 0 \)), obtenemos: \[ \tan x = \sqrt{3} \] El ángulo \( x \) que satisface \( \tan x = \sqrt{3} \) es \( x = \frac{\pi}{3} \) (o 60 grados). Ahora, usando este ángulo, podemos encontrar la distancia horizontal \( d \) desde la base del faro hasta el barco. La altura del faro es \( h = 8\sqrt{3} \) metros. La relación entre la altura del faro, la distancia horizontal y el ángulo de depresión se puede expresar usando la tangente: \[ \tan x = \frac{h}{d} \] Sustituyendo \( h \) y \( x \): \[ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{8\sqrt{3}}{d} \] Sabemos que \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \), así que: \[ \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{d} \] Multiplicando ambos lados por \( d \): \[ d \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \] Dividiendo ambos lados por \( \sqrt{3} \): \[ d = 8 \] Por lo tanto, la distancia desde la base del faro hasta el barco es \( 8 \) metros. La respuesta correcta es: **B) 8 metros**.