Sea \( T: R^{3} \rightarrow R^{2} \) en bases canonicas y definida for \( T\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}x & -y \\ y+z\end{array}\right) \) Obtenga la matriz A que define la transformación de \( T \).

Para encontrar la matriz \( A \) que define la transformación \( T \), debemos considerar cómo \( T \) actúa sobre los vectores de la base canónica de \( R^3 \), que son \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) y \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). Aplicando \( T \): 1. \( T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) 2. \( T\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) 3. \( T\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) Ahora, construimos la matriz \( A \) a partir de las imágenes de estos vectores: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] Así que la matriz que define la transformación \( T \) es \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]