Estudia el carácter de la serie $$ \sum_{n=1}^{n^{2}} $$ y usando esta serie estudia el carácter de la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n 2^{n}+5}{4 n^{3}+3 n} $$

Question

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Analicemos en dos partes la convergencia de las series propuestas.

**1. Serie conocida $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$**

Esta serie es una serie $$p$$ con
$$
p = 2 > 1.
$$
Recordando que las series $$p$$ convergen si $$p > 1$$, concluimos que
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \quad \text{converge.}
$$

**2. Serie $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n2^n+5}{4n^3+3n}$$**

Analicemos el comportamiento de los términos cuando $$n$$ es grande.

Para $$n\to\infty$$, los términos dominantes en el numerador y denominador son:
- Numerador: $$n2^n$$ (ya que $$5$$ es despreciable frente a $$n2^n$$).
- Denominador: $$4n^3$$ (ya que $$3n$$ es de orden inferior a $$4n^3$$).

Así, para $$n$$ grande,
$$
a_n = \frac{n2^n+5}{4n^3+3n} \sim \frac{n2^n}{4n^3} = \frac{2^n}{4n^2}.
$$

Notamos que el factor $$2^n$$ crece de forma exponencial, mientras que $$4n^2$$ únicamente crece polinómicamente. Por ello, los términos $$a_n$$ no tienden a cero, de hecho:
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{4n^2} = \infty.
$$

Recordando la prueba del término (prueba de la divergencia), si
$$
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,
$$
la serie diverge. En nuestro caso,
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n2^n+5}{4n^3+3n} \neq 0,
$$
por lo que concluimos que
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n2^n+5}{4n^3+3n} \quad \text{diverge.}
$$
The first series $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$ converges because it's a $$p$$-series with $$p = 2 > 1$$. The second series $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n2^n+5}{4n^3+3n}$$ diverges because the limit of its terms as $$n$$ approaches infinity is not zero.

Estudia el carácter de la serie y usando esta serie estudia el carácter de la serie

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