Encuentra los parámetros \( a \) y \( b \) de la cónica \[ -9 x^{2}-20 x y-13 y^{2}+6=0 \] scribe las respuestas redondeando a dos decimale \[ a=\square, b=\square \]

Consideremos la cónica dada \[ -9x^2 - 20xy - 13y^2 + 6 = 0. \] Multiplicamos la ecuación por \(-1\) para obtener una forma más estándar: \[ 9x^2 + 20xy + 13y^2 = 6. \] Se trata de una elipse con término cruzado, la cual se puede eliminar mediante una rotación de coordenadas. El proceso consiste en diagonalizar el cuadrático asociado, es decir, estudiar la forma cuadrática \[ Q(x,y) = 9x^2 + 20xy + 13y^2. \] Esta forma se puede escribir como \[ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 10 \\ 10 & 13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \] El siguiente paso es hallar los valores propios (eigenvalores) de la matriz \[ M = \begin{pmatrix} 9 & 10 \\ 10 & 13 \end{pmatrix}. \] Los valores propios \(\lambda\) se obtienen de la ecuación característica: \[ \det(M - \lambda I) = 0. \] Es decir, \[ \begin{vmatrix} 9-\lambda & 10 \\ 10 & 13-\lambda \end{vmatrix} = (9-\lambda)(13-\lambda) - 10^2 = 0. \] Calculemos: \[ (9-\lambda)(13-\lambda) - 100 = \lambda^2 - (9+13)\lambda + (9\cdot13 - 100) = \lambda^2 - 22\lambda + (117 - 100) = \lambda^2 - 22\lambda + 17 = 0. \] La solución de esta ecuación cuadrática es: \[ \lambda = \frac{22 \pm \sqrt{22^2 - 4\cdot1\cdot17}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 68}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{416}}{2}. \] Observamos que \[ \sqrt{416} = \sqrt{16\cdot26} = 4\sqrt{26}. \] Entonces, \[ \lambda = \frac{22 \pm 4\sqrt{26}}{2} = 11 \pm 2\sqrt{26}. \] Denotamos: \[ \lambda_1 = 11 - 2\sqrt{26} \quad \text{y} \quad \lambda_2 = 11 + 2\sqrt{26}. \] Como \(2\sqrt{26} \approx 10.20\), se tiene: \[ \lambda_1 \approx 11 - 10.20 = 0.80 \quad \text{y} \quad \lambda_2 \approx 11 + 10.20 = 21.20. \] Mediante una rotación se transforma la ecuación a la forma canónica: \[ \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 = 6. \] Dividiendo ambos lados por 6 obtenemos \[ \frac{u^2}{\dfrac{6}{\lambda_1}} + \frac{v^2}{\dfrac{6}{\lambda_2}} = 1. \] En esta forma, los semiejes de la elipse están dados por \[ a = \sqrt{\frac{6}{\lambda_{\min}}} \quad \text{y} \quad b = \sqrt{\frac{6}{\lambda_{\max}}}, \] donde \(a\) es el semieje mayor (asociado al valor propio menor) y \(b\) es el semieje menor. Usando los valores hallados: \[ a = \sqrt{\frac{6}{11 - 2\sqrt{26}}}, \quad b = \sqrt{\frac{6}{11 + 2\sqrt{26}}}. \] Procedamos a aproximar numéricamente. Para \(a\): \[ 11 - 2\sqrt{26} \approx 11 - 10.20 = 0.80, \quad \frac{6}{0.80} \approx 7.50, \quad a \approx \sqrt{7.50} \approx 2.74. \] Para \(b\): \[ 11 + 2\sqrt{26} \approx 11 + 10.20 = 21.20, \quad \frac{6}{21.20} \approx 0.28, \quad b \approx \sqrt{0.28} \approx 0.53. \] Por lo tanto, redondeando a dos decimales tenemos: \[ a = 2.74, \quad b = 0.53. \]