\( \left. \begin{array} { l } { f ( x , y , z ) = x ^ { \wedge } 2 - 2 x y + y ^ { \wedge } 2 + 3 y z - z ^ { \wedge } 2 + 4 x - 2 y + 3 x - 6 } \\ { ( 1,2,3 ) , ( 1,4,5 ) , ( 1,5,3 ) } \end{array} \right. \)

Vamos a considerar la función   f(x, y, z) = x² – 2xy + y² + 3yz – z² + 4x – 2y + 3x – 6. Observa que podemos simplificar los términos semejantes en x:   4x + 3x = 7x. De esta manera, la función se puede escribir como   f(x, y, z) = x² – 2xy + y² + 3yz – z² + 7x – 2y – 6. Ahora evaluaremos f en los siguientes puntos: (1,2,3), (1,4,5) y (1,5,3). 1. Para (1, 2, 3):   f(1, 2, 3) = (1)² – 2·1·2 + (2)² + 3·2·3 – (3)² + 7·1 – 2·2 – 6          = 1 – 4 + 4 + 18 – 9 + 7 – 4 – 6. Calculamos paso a paso:   1 – 4 = –3   –3 + 4 = 1   1 + 18 = 19   19 – 9 = 10   10 + 7 = 17   17 – 4 = 13   13 – 6 = 7. Por lo tanto, f(1, 2, 3) = 7. 2. Para (1, 4, 5):   f(1, 4, 5) = (1)² – 2·1·4 + (4)² + 3·4·5 – (5)² + 7·1 – 2·4 – 6          = 1 – 8 + 16 + 60 – 25 + 7 – 8 – 6. Paso a paso:   1 – 8 = –7   –7 + 16 = 9   9 + 60 = 69   69 – 25 = 44   44 + 7 = 51   51 – 8 = 43   43 – 6 = 37. Por lo tanto, f(1, 4, 5) = 37. 3. Para (1, 5, 3):   f(1, 5, 3) = (1)² – 2·1·5 + (5)² + 3·5·3 – (3)² + 7·1 – 2·5 – 6          = 1 – 10 + 25 + 45 – 9 + 7 – 10 – 6. Paso a paso:   1 – 10 = –9   –9 + 25 = 16   16 + 45 = 61   61 – 9 = 52   52 + 7 = 59   59 – 10 = 49   49 – 6 = 43. Por lo tanto, f(1, 5, 3) = 43. Resumiendo:   • f(1,2,3) = 7   • f(1,4,5) = 37   • f(1,5,3) = 43.