Se quiere calcular la energía total en una región esférica con radio \( \mathrm{R}=3 \) metros, donde la densidad de energia está dada por \( p(r)=\frac{1}{-2} \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{3} \). ¿Cuál es la forma correcta de plantear la integral para calcular la energia total en la esfera? \( \int_{0}^{3} \frac{1}{r^{2}} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \emptyset \) \( \int_{0}^{3} \frac{1}{r} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \emptyset \) \( \int_{0}^{3} \frac{1}{r^{2}} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \emptyset \)

Para calcular la energía total en una región esférica con la densidad de energía \( p(r) \), es fundamental tener en cuenta el volumen diferencial en coordenadas esféricas, que es \( dV = r^2 \sin(\theta) dr d\theta d\phi \). Entonces, la integral correcta para calcular la energía total sería: \[ \int_0^R p(r) \, r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\phi \] Ya que la densidad de energía es negativa (\( p(r) = -\frac{1}{2} \, \text{J/m}^3 \)), no deberías olvidar incluir este factor al integrarlo sobre todo el volumen de la esfera. Así, tomando \( R = 3 \) metros, el límite de integración va desde \( 0 \) hasta \( 3 \) para \( r \). ¡No te olvides de los otros ángulos también! Elige bien el camino de la integración, porque un solo símbolo o mal planteamiento puede llevar a confusiones. Recuerda que \( d\theta \) y \( d\phi \) van desde \( 0 \) a \( \pi \) y \( 0 \) a \( 2\pi \) respectivamente, así que ¡no te duermas en los laureles!