Actividad \#4. Determina si cada par de rectas son paralelas, perpendiculares, coincidentes o secantes. Además, halla el ángulo entre las rectas. a. \( l_{1}: A(1 ; 2) \) y \( B(6 ; 4) \) y \( l_{2}: C(2 ; 0) \) y \( D(5 ; 7) \) b. \( l_{1}: A(-2 ; 4) \) y \( B(2 ; 1) \) y \( l_{2}: C(-3 ; 0) \) y \( D(2 ; 1) \) c. \( l_{1}: 4 x+2 y=6 \) y \( l_{2}: 2 x+4 y=4 \) d. \( l_{1}: 5 y-2 x-10=0 \) y \( l_{2}: 2 y+5 x+8=0 \) e. \( l_{1}: 6 x+2 y=8 \) y \( l_{2}: 3 x=4-y \) f. \( l_{1}: 4 x+2 y=8 \) y \( l_{2}: 8 x=4-4 y \)

Para determinar la relación entre cada par de rectas (paralelas, perpendiculares, coincidentes o secantes) y hallar el ángulo entre ellas, seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar las pendientes de las rectas.** 2. **Determinar la relación entre las pendientes.** 3. **Calcular el ángulo entre las rectas si no son paralelas.** ### a. \( l_{1}: A(1 ; 2) \) y \( B(6 ; 4) \) y \( l_{2}: C(2 ; 0) \) y \( D(5 ; 7) \) **Paso 1: Calcular las pendientes.** La pendiente \( m \) de una recta que pasa por dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) se calcula como: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Para \( l_1 \): - \( A(1, 2) \) y \( B(6, 4) \) \[ m_1 = \frac{4 - 2}{6 - 1} = \frac{2}{5} \] Para \( l_2 \): - \( C(2, 0) \) y \( D(5, 7) \) \[ m_2 = \frac{7 - 0}{5 - 2} = \frac{7}{3} \] **Paso 2: Determinar la relación entre las pendientes.** Las rectas son: - Paralelas si \( m_1 = m_2 \) - Perpendiculares si \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) Calculamos: \[ m_1 \cdot m_2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{14}{15} \neq -1 \] Por lo tanto, no son paralelas ni perpendiculares. **Paso 3: Calcular el ángulo entre las rectas.** El ángulo \( \theta \) entre dos rectas se puede calcular con la fórmula: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \] Sustituyendo: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{\frac{2}{5} - \frac{7}{3}}{1 + \frac{14}{15}} \right| \] Calculamos el numerador y el denominador: \[ \frac{2}{5} - \frac{7}{3} = \frac{6 - 35}{15} = \frac{-29}{15} \] \[ 1 + \frac{14}{15} = \frac{29}{15} \] Por lo tanto: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{-29/15}{29/15} \right| = 1 \] Esto implica que \( \theta = 45^\circ \). ### Resumen para a: - Las rectas son secantes. - El ángulo entre ellas es \( 45^\circ \). ### b. \( l_{1}: A(-2 ; 4) \) y \( B(2 ; 1) \) y \( l_{2}: C(-3 ; 0) \) y \( D(2 ; 1) \) **Paso 1: Calcular las pendientes.** Para \( l_1 \): \[ m_1 = \frac{1 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-3}{4} \] Para \( l_2 \): \[ m_2 = \frac{1 - 0}{2 - (-3)} = \frac{1}{5} \] **Paso 2: Determinar la relación entre las pendientes.** Calculamos: \[ m_1 \cdot m_2 = \frac{-3}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{-3}{20} \neq -1 \] No son paralelas ni perpendiculares. **Paso 3: Calcular el ángulo entre las rectas.** \[ \tan(\theta) = \left| \frac{\frac{-3}{4} - \frac{1}{5}}{1 + \frac{-3}{4} \cdot \frac{1}{5}} \right| \] Calculamos el numerador y el denominador: \[ \frac{-3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{-15 - 4}{20} = \frac{-19}{20} \] \[ 1 + \frac{-3}{20} = \frac{17}{20} \] Por lo tanto: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{-19/20}{17/20} \right| = \frac{19}{17} \] Calculamos \( \theta \) usando la función inversa de la tangente. ### Resumen para b: - Las rectas son secantes. - El ángulo entre ellas es \( \tan^{-1}\left(\frac{19}{17}\right) \). ### c. \( l_{1}: 4 x+2 y=6 \) y \( l_{2}: 2 x+4 y=4 \) **Paso 1: Encontrar las pendientes.** Reescribimos en forma pendiente-intersección \( y = mx + b \). Para \( l_1 \): \[ 2y = -4x + 6 \implies y = -2x + 3 \quad (m_1 = -2) \] Para \( l_2 \): \[ 4y = -2x + 4 \implies y = -\frac{1}{2}x + 1 \quad (m_2 = -\frac{1}{2}) \] **Paso 2: Determinar la relación entre las pendientes.** Calculamos: \[ m_1 \cdot m_2 = -2 \cdot -\frac{1}{2} = 1 \] Son perpendiculares. ### Resumen para c: - Las rectas son perpendiculares. - El ángulo entre ellas es \( 90^\circ \). ### d. \( l_{1}: 5 y-2 x-10=0 \) y \( l_{2}: 2 y+5 x+8=0 \) **Paso 1: Encontrar las pendientes.** Para \( l_1 \): \[ 5y = 2x + 10 \implies y = \frac{2}{5}x + 2 \quad (m_1 = \frac{2}{5}) \] Para \( l_2 \): \[ 2y = -